Corrigé Centrale 2026 Maths 2 PSI — Partie D (Q20 à Q28) : Polynômes de Jacobi : formule de Rodrigues, coefficient dominant, orthogonalité par parties

Sujet officiel du concours Centrale, session 2026, épreuve Maths 2 PSI. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

On reste dans $E = R_{n} [X]$ avec le produit scalaire de Q4. Pour $k \in [[0, n]]$ et $x \in] - 1, 1 [$ , on pose $g_{k} (x) = (1 - x)^{α + k} (1 + x)^{β + k}$ et $J_{k} (x) = \frac{( - 1 ) ^{k}}{2 ^{k} k ! ( 1 - x ) ^{α} ( 1 + x ) ^{β}} g_{k}^{(k)} (x)$ .

Q20. Expliciter $g_{0}, g_{1}$ , puis $J_{0}, J_{1}$ .
Q21. Pour $p \in N$ et $j \in R$ , exprimer la dérivée $p$ -ième de $x \mapsto (1 - x)^{j}$ sur $] - 1, 1 [$ à l'aide de $B_{p}^{j}$ .
Q22. En déduire une expression de $g_{k}^{(k)} (x)$ .
Q23. Montrer que, pour $k ⩾ 2$ , $J_{k} (x) = \frac{1}{2 ^{k}} \sum_{i = 0}^{k} B_{k - i}^{k + α} B_{i}^{k + β} (x - 1)^{i} (x + 1)^{k - i}$ .
Q24. Montrer que $J_{k}$ est polynomiale de degré $k$ et exprimer son coefficient dominant grâce à la formule de Vandermonde.

Soient $k \in [[1, n]]$ et $i \in [[0, k - 1]]$ .
Q25. Justifier la convergence de $\int_{- 1}^{1} x^{i} g_{k}^{(k)} (x) d x$ et de $\int_{- 1}^{1} x^{i - 1} g_{k}^{(k - 1)} (x) d x$ , puis montrer que la première vaut $- i$ fois la seconde.
Q26. En déduire $⟨ J_{k}, X^{i} ⟩ = 0$ .
Q27. Montrer que $(J_{0}, \dots, J_{n})$ est une base orthogonale de $E$ .
Q28. Expliquer comment en déduire une base orthonormale de $E$ .

Corrigé

On note $w (x) = (1 - x)^{α} (1 + x)^{β}$ . Sur $] - 1, 1 [$ , $1 - x > 0$ et $1 + x > 0$ : les puissances réelles $(1 \pm x)^{j} = e^{j l n (1 \pm x)}$ sont de classe $C^{\infty}$ , donc $g_{k}$ aussi.

Q20. $g_{0} (x) = (1 - x)^{α} (1 + x)^{β} = w (x)$ et $g_{1} (x) = (1 - x)^{α + 1} (1 + x)^{β + 1}$ . Pour $k = 0$ : $J_{0} (x) = \frac{g _{0} ( x )}{w ( x )} = 1$ . Pour $k = 1$ :

$g_{1}^{'} (x) = - (α + 1) (1 - x)^{α} (1 + x)^{β + 1} + (β + 1) (1 - x)^{α + 1} (1 + x)^{β} = w (x) [(β + 1) (1 - x) - (α + 1) (1 + x)],$

d'où $J_{1} (x) = - \frac{1}{2} [(β + 1) (1 - x) - (α + 1) (1 + x)]$ , soit

$J_{1} (x) = \frac{1}{2} [(α + β + 2) x + α - β] .$

Q21. Montrons par récurrence sur $p$ que, pour $x \in] - 1, 1 [$ ,

$\frac{d ^{p}}{d x ^{p}} (1 - x)^{j} = (- 1)^{p} p! B_{p}^{j} (1 - x)^{j - p} .$

Pour $p = 0$ : $B_{0}^{j} = 1$ . Si c'est vrai au rang $p$ , on dérive : $\frac{d}{d x} (1 - x)^{j - p} = - (j - p) (1 - x)^{j - p - 1}$ , et $p! B_{p}^{j} (j - p) = j (j - 1) \dots (j - p) = (p + 1)! B_{p + 1}^{j}$ ; on obtient $(- 1)^{p + 1} (p + 1)! B_{p + 1}^{j} (1 - x)^{j - p - 1}$ . De même (sans le signe) : $\frac{d ^{p}}{d x ^{p}} (1 + x)^{j} = p! B_{p}^{j} (1 + x)^{j - p}$ .

Q22. Posons $u (x) = (1 - x)^{α + k}$ et $v (x) = (1 + x)^{β + k}$ . Pour $p \in [[0, k]]$ , la formule de Leibniz et Q21 donnent

$g_{k}^{(p)} (x) = r = 0 \sum p (r p) u^{(p - r)} (x) v^{(r)} (x) = r = 0 \sum p (r p) (- 1)^{p - r} (p - r)! r! B_{p - r}^{α + k} B_{r}^{β + k} (1 - x)^{α + k - p + r} (1 + x)^{β + k - r} .$

En factorisant, on retient pour la suite

$(*) g_{k}^{(p)} (x) = (1 - x)^{α + k - p} (1 + x)^{β + k - p} R_{k, p} (x),$

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