Corrigé Centrale 2026 Maths 2 PSI — Partie E (I et II) (Q29 à Q35) : Polynômes de Legendre : premiers termes, parité, valeurs en ±1, équation de Legendre

Sujet officiel du concours Centrale, session 2026, épreuve Maths 2 PSI. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Soit $n \in N^{*}$ , et $α = β = 0$ : $⟨ P, Q ⟩ = \int_{- 1}^{1} P (t) Q (t) d t$ sur $R_{n} [X]$ . On admet que la base obtenue en Q28 vérifie les hypothèses de la partie C ; ses éléments sont les polynômes de Legendre

$L_{k} = \frac{1}{2 ^{k} k !} [(X^{2} - 1)^{k}]^{(k)}, k \in [[0, n]] .$

Q29. Calculer $L_{k}$ pour $k \in [[0, 3]]$ .
Q30. Calculer les racines de $L_{1}, L_{2}, L_{3}$ et vérifier la conclusion de Q19.
Q31. Retrouver le degré de $L_{k}$ sans la partie C, et calculer son coefficient dominant.
Q32. Déterminer la parité de $L_{k}$ .
Q33. Calculer $L_{k} (1)$ et $L_{k} (- 1)$ .

Soit $k \in [[0, n]]$ et $g_{k} (x) = (1 - x^{2})^{k}$ sur $] - 1, 1 [$ .
Q34. Exprimer $(1 - x^{2}) g_{k}^{'} (x)$ à l'aide de $g_{k} (x)$ .
Q35. En déduire, par la formule de Leibniz, que $L_{k}$ est solution sur $] - 1, 1 [$ de $(1 - x^{2}) y^{''} - 2 x y^{'} + k (k + 1) y = 0$ .

Corrigé

Une précision sur l'énoncé. Avec $α = β = 0$ , on a $g_{k} (x) = (1 - x)^{k} (1 + x)^{k} = (1 - x^{2})^{k} = (- 1)^{k} (x^{2} - 1)^{k}$ et $w = 1$ , donc $J_{k} = \frac{( - 1 ) ^{k}}{2 ^{k} k !} g_{k}^{(k)} = \frac{1}{2 ^{k} k !} [(X^{2} - 1)^{k}]^{(k)} = L_{k}$ : les $L_{k}$ sont les polynômes de Jacobi $J_{k}$ de ce cas, qui forment une base orthogonale mais pas orthonormale ( $∥ L_{1} ∥^{2} = \int_{- 1}^{1} t^{2} d t = \frac{2}{3}$ par Q8). Tout ce qui a été établi dans la partie C et ne dépend que des degrés et de l'orthogonalité (Q11 à Q19 : $de g L_{k} = k$ , $L_{k} ⊥ R_{k - 1} [X]$ , racines) reste valable, puisque $L_{k}$ est un multiple strictement positif de $P_{k}$ (Q28, $c_{k} > 0$ ).

Q29. $L_{0} = 1$ . $L_{1} = \frac{1}{2} (X^{2} - 1)^{'} = \frac{1}{2} \cdot 2 X = X$ .
$(X^{2} - 1)^{2} = X^{4} - 2 X^{2} + 1$ , de dérivée seconde $12 X^{2} - 4$ : $L_{2} = \frac{1}{8} (12 X^{2} - 4) = \frac{3 X ^{2} - 1}{2}$ .
$(X^{2} - 1)^{3} = X^{6} - 3 X^{4} + 3 X^{2} - 1$ ; dérivée première $6 X^{5} - 12 X^{3} + 6 X$ , seconde $30 X^{4} - 36 X^{2} + 6$ , troisième $120 X^{3} - 72 X$ . D'où $L_{3} = \frac{1}{48} (120 X^{3} - 72 X) = \frac{5 X ^{3} - 3 X}{2}$ .

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