Corrigé Centrale 2026 Maths 2 PSI — Partie E (III à V) (Q36 à Q42) : Legendre : majoration |Lk| ≤ 1, relation de Bonnet et série génératrice

Sujet officiel du concours Centrale, session 2026, épreuve Maths 2 PSI. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

On garde $α = β = 0$ et les polynômes de Legendre $L_{k} = \frac{1}{2 ^{k} k !} [(X^{2} - 1)^{k}]^{(k)}$ (Q29 à Q35).

Soit $k \in [[0, n]]$ .
Q36. Étudier la monotonie sur $[0, 1]$ de $f_{k} (x) = L_{k} (x)^{2} + \frac{1 - x ^{2}}{k ( k + 1 )} L_{k}^{'} (x)^{2}$ .
Q37. En déduire $∣ L_{k} (x) ∣ ⩽ 1$ pour $x \in [- 1, 1]$ .

Soit $k \in [[1, n - 1]]$ .
Q38. Avec les notations de Q14, déterminer $a_{k}$ .
Q39. Montrer que $L_{k + 1} = \frac{2 k + 1}{k + 1} X L_{k} - \frac{k}{k + 1} L_{k - 1}$ .

On admet que les $L_{k}$ sont définis pour tout $k \in N$ , avec les mêmes propriétés (dont Q39). Soit $x \in [- 1, 1]$ .
Q40. Montrer que la série entière $\sum_{k ⩾ 0} L_{k} (x) t^{k}$ a un rayon de convergence $⩾ 1$ ; on note $S (t)$ sa somme sur $] - 1, 1 [$ .
Q41. Établir, grâce à Q39, que $(1 - 2 t x + t^{2}) S^{'} (t) + (t - x) S (t) = 0$ sur $] - 1, 1 [$ .
Q42. En déduire que $\sum_{k = 0}^{+ \infty} L_{k} (x) t^{k} = \frac{1}{1 - 2 t x + t ^{2}}$ pour $t \in] - 1, 1 [$ .

Corrigé

Q36. Coquille du sujet : $k \in [[0, n]]$ est annoncé, mais $f_{k}$ n'a de sens que pour $k ⩾ 1$ (dénominateur $k (k + 1)$ ) ; pour $k = 0$ , $L_{0} = 1$ et Q37 est immédiate. Soit $k ⩾ 1$ et notons $L = L_{k}$ . La fonction $f_{k}$ est polynomiale, donc dérivable, et

$f_{k}^{'} (x) = 2 L (x) L^{'} (x) + \frac{1}{k ( k + 1 )} (- 2 x L^{'} (x)^{2} + 2 (1 - x^{2}) L^{'} (x) L^{''} (x)) = 2 L L^{'} + \frac{2 L ^{'}}{k ( k + 1 )} ((1 - x^{2}) L^{''} - x L^{'}) .$

Par Q35, $(1 - x^{2}) L^{''} = 2 x L^{'} - k (k + 1) L$ sur $] - 1, 1 [$ , et même sur $R$ : le polynôme $(1 - X^{2}) L^{''} - 2 X L^{'} + k (k + 1) L$ a une infinité de racines, il est nul. Donc $(1 - x^{2}) L^{''} - x L^{'} = x L^{'} - k (k + 1) L$ et

$f_{k}^{'} (x) = 2 L L^{'} + \frac{2 x L ^{'} ( x ) ^{2}}{k ( k + 1 )} - 2 L L^{'} = \frac{2 x L _{k}^{'} ( x ) ^{2}}{k ( k + 1 )} ⩾ 0 sur [0, 1] .$

Ainsi $f_{k}$ est croissante sur $[0, 1]$ .

Q37. Soit $x \in [0, 1]$ . Comme $1 - x^{2} ⩾ 0$ , le second terme de $f_{k} (x)$ est positif, donc, par Q36 et Q33,

$L_{k} (x)^{2} ⩽ f_{k} (x) ⩽ f_{k} (1) = L_{k} (1)^{2} + 0 = 1.$

Donc $∣ L_{k} (x) ∣ ⩽ 1$ sur $[0, 1]$ . Pour $x \in [- 1, 0]$ , la parité (Q32) donne $∣ L_{k} (x) ∣ = ∣ L_{k} (- x) ∣ ⩽ 1$ . Finalement $∣ L_{k} (x) ∣ ⩽ 1$ sur $[- 1, 1]$ .

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