Corrigé Centrale 2026 S2I MP — Partie A (Q1 à Q2) : Profil de mouvement souhaité de la nacelle

Sujet officiel du concours Centrale, session 2026, épreuve S2I MP. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

La tour British Airways i360 (Brighton) est une tour d'observation : une nacelle torique de 200 passagers, en translation verticale le long d'un mât de $160 m$ encastré au sol, monte jusqu'à $130 m$ (Figure 1 : trois photographies de la tour et de la nacelle vitrée). Le cahier des charges du commanditaire (Tableau 1) comprend trois exigences : Id 1 accueillir $4000$ visiteurs par jour ; Id 2 limiter accélérations et vitesses de la nacelle quel que soit le nombre de passagers ; Id 3 récupérer à la descente plus de la moitié de l'énergie électrique consommée à la montée.

Le sol et le mât (repère $R_{0} = (O_{0}, x, y, z)$ , galiléen) sont notés $0$ ; la nacelle $N$ a son centre de gravité $G$ sur l'axe $(O_{0}, z)$ , avec $O_{0} G = z_{s} (t) z$ , $V_{G, N /0} = v_{s} (t) z$ , $a_{G, N /0} = a_{s} (t) z$ (valeurs souhaitées).

Cycle souhaité : départ à $t_{0} = 0$ du sol ( $z_{s} = 0$ , $v_{s} = 0$ ) ; accélération constante $a_{1} > 0$ jusqu'à $t_{1}$ , où $v_{s} = v_{n o m} = 0, 5 m \cdot s^{- 1}$ ; vitesse $v_{n o m}$ jusqu'à $t_{2}$ ; décélération $- a_{1}$ jusqu'à $t_{3}$ , avec $z_{s} (t_{3}) = 130 m$ ; montée en $6 min$ au plus ; arrêt de $10 min$ au sommet ; descente symétrique (instants $t_{4}$ à $t_{7}$ , $z_{s} (t_{7}) = 0$ ), en $6 min$ au plus.

Exigence	Critère	Niveau
Sécurité	vitesse linéaire maximale	$v_{ma x} = 0, 6 m \cdot s^{- 1}$
Accessibilité	précision de position au niveau inférieur	$Δ z ⩽ 5 mm$
Panorama	précision de position au niveau supérieur	$Δ z ⩽ 5 mm$
Confort	accélération linéaire maximale	$a_{ma x} = 0, 015 m \cdot s^{- 2}$

{ Tableau 2 — Exigences relatives à Id 2.}

{ Figure 2 — Accélération $a_{s} (t)$ et vitesse $v_{s} (t)$ souhaitées sur un cycle complet.}

Q1. Tracer l'allure de $z_{s} (t)$ sur le cycle ; préciser $z_{s} (t_{3})$ et $z_{s} (t_{7})$ .
Q2. Avec $t_{1} = 40 s$ , $t_{3} - t_{2} = 40 s$ et $v_{n o m} = 0, 5 m \cdot s^{- 1}$ , vérifier qu'on atteint $130 m$ en $t_{3} ⩽ 6 min$ ; vérifier l'exigence de confort du Tableau 2.

Corrigé

Q1. La position s'obtient en intégrant la vitesse, $z_{s} (t) = \int_{0}^{t} v_{s} (u) d u$ , avec $z_{s} (0) = 0$ . Sur chaque sous-phase :

$[t_{0}, t_{1}]$ : $a_{s} = a_{1}$ , donc $v_{s}$ croît linéairement et $z_{s} = \frac{1}{2} a_{1} t^{2}$ est un arc de parabole à concavité vers le haut, tangent à l'horizontale en $t_{0}$ ;
$[t_{1}, t_{2}]$ : $v_{s} = v_{n o m}$ , $z_{s}$ est une droite de pente $v_{n o m}$ , raccordée tangentiellement à la parabole (la vitesse est continue) ;
$[t_{2}, t_{3}]$ : $a_{s} = - a_{1}$ , arc de parabole à concavité vers le bas, qui arrive en $t_{3}$ avec une tangente horizontale ( $v_{s} (t_{3}) = 0$ ) ;
$[t_{3}, t_{4}]$ : palier $z_{s} = z_{s} (t_{3}) = 130 m$ pendant les $10 min$ d'observation ;
$[t_{4}, t_{7}]$ : la même succession parabole – droite de pente $- v_{n o m}$ – parabole, symétrique, qui ramène la nacelle à $z_{s} (t_{7}) = 0 m$ .

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