Corrigé Centrale 2026 S2I MP — Partie B (Q3 à Q10) : Loi entrée-sortie cinématique du mécanisme à câbles

La nacelle est mue par des câbles (Figure 3 du sujet : schéma technique du mât) : quatre câbles d'équilibrage relient la nacelle au contrepoids en passant sur quatre poulies en haut du mât ; un câble tracteur, ancré au sol, passe sur une poulie de renvoi, sous la poulie de contrepoids, et s'enroule sur un tambour déporté entraîné par l'actionneur via un réducteur. Les quatre câbles et poulies d'équilibrage sont remplacés par un câble équivalent $ceq$ et une poulie équivalente $peq$ (Figure 5). La structure de commande (Figure 4) est redessinée en Partie D.

{ Figure 5 — Modélisation équivalente du mécanisme (actionneur et réducteur non représentés) ; $\overrightarrow{x}=\overrightarrow{y}\wedge \overrightarrow{z}$ sort de la feuille.}

Notations : $\overrightarrow{O_{0}G}=z(t)\overrightarrow{z}$, ${\overrightarrow{V}}_{G,N/0}=v(t)\overrightarrow{z}$ ; tambour $ta$ de rayon $R_{ta}=1,5\mathrm{m}$, pivot d'axe $(O_{ta},\overrightarrow{x})$ avec $0$ ; poulie de renvoi $pr$ (rayon $R_{pr}$) et poulie équivalente $peq$ (rayon $R_{peq}$), pivots d'axes $(O_{pr},\overrightarrow{x})$ et $(O_{peq},\overrightarrow{x})$ avec $0$ ; poulie de contrepoids $pcp$ (rayon $R_{pcp}$), pivot d'axe $(O_{pcp},\overrightarrow{x})$ avec le contrepoids $cp$, auquel est fixée une extrémité de $ceq$ ; ${\overrightarrow{\Omega }}_{m/0}={\omega }_m\overrightarrow{x}$, ${\overrightarrow{\Omega }}_{ta/0}={\omega }_{ta}\overrightarrow{x}$, ${\overrightarrow{\Omega }}_{pcp/0}={\omega }_{pcp}\overrightarrow{x}$, ${\overrightarrow{\Omega }}_{peq/0}={\omega }_{peq}\overrightarrow{x}$ ; réducteur $k_{red}={\omega }_{ta}/{\omega }_m=1/153$. Hypothèses : câbles inextensibles, toujours tendus, de diamètre négligeable ; pas de glissement câble/poulies ; câble tracteur enroulé en une seule couche sur $ta$ ; ${\overrightarrow{V}}_{I_{pcp1},pcp/0}=\overrightarrow{0}$ (brin ancré au sol).

Q3. Avec le non-glissement de $ct$ sur $ta$, calculer ${\overrightarrow{V}}_{I_{ta},ct/0}$ en fonction de $R_{ta}$, $k_{red}$, ${\omega }_m$.
Q4. Quelles hypothèses justifient ${\overrightarrow{V}}_{I_{ta},ct/0}\cdot \overrightarrow{y}={\overrightarrow{V}}_{I_{pcp2},ct/0}\cdot \overrightarrow{z}$ ?
Q5. Relier ${\overrightarrow{V}}_{I_{pcp2},pcp/0}$ à ${\omega }_m$, $k_{red}$, $R_{ta}$.
Q6. Quelle relation lie ${\overrightarrow{V}}_{O_{pcp},pcp/0}$ et ${\overrightarrow{V}}_{O_{pcp},ceq/0}$ ? Justifier.
Q7. Exprimer ${\overrightarrow{V}}_{O_{pcp},ceq/0}$ en fonction de ${\overrightarrow{V}}_{I_{pcp2},pcp/0}$, puis de ${\omega }_m$.
Q8. Relier ${\overrightarrow{V}}_{O_{pcp},ceq/0}$ et ${\overrightarrow{V}}_{G,N/0}$ en présentant la démarche.
Q9. En déduire $v(t)=k_{cin}{\omega }_m(t)$ et exprimer $k_{cin}$.
Q10. L'actionneur a une vitesse nominale ${\omega }_{m_{nom}}=980\mathrm{tr}\cdot \mathrm{mi}{\mathrm{n}}^{-1}$ : peut-il assurer $v_{nom}=0,5\mathrm{m}\cdot {\mathrm{s}}^{-1}$ ?