Corrigé Centrale 2026 S2I MP — Partie C (Q11 à Q21) : Équation de mouvement par le théorème de l'énergie cinétique

Sujet officiel du concours Centrale, session 2026, épreuve S2I MP. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

On reprend le paramétrage de la Figure 5 (Partie B). Données (Tableau 3) :

{

Solide	Caractéristiques
Rotor $m$ + réducteur	inertie ramenée à l'axe moteur $J_{m r} = 11 kg \cdot m^{2}$
Tambour $t a$	$J_{t a} = 24120 kg \cdot m^{2}$ autour de $(O_{t a}, x)$
Poulies $p r$ et $p c p$	poids et inertie négligés
Contrepoids $c p$	centre de gravité $O_{p c p}$ , $M_{c p} = 72000 kg$
Poulie équivalente $p e q$	$J_{p e q} = 20300 kg \cdot m^{2}$ autour de $(O_{p e q}, x)$
$N p$ : nacelle + $200$ passagers	centre de gravité $G$ , $M_{N p} = 110000 kg$
Passagers	$m_{p} = 80 n$ , au plus $16000 kg$
Câbles $c t$ et $ce q$	poids négligés

}

Pesanteur $- M g z$ , $g = 9, 81 m \cdot s^{- 2}$ ; action du stator sur le rotor : couple $c_{e m} (t) x$ ; liaisons parfaites, actions aérodynamiques négligées. Relations cinématiques imposées : $v = k_{c in} ω_{m}$ avec $k_{c in} = 1/204 m \cdot ra d^{- 1}$ , $v_{c p} = - v$ , $v_{c t} = - 2 v$ , $ω_{t a} = k_{r e d} ω_{m}$ ( $k_{r e d} = 1/153$ ), $v = R_{p e q} ω_{p e q}$ . L'ensemble $Σ$ regroupe nacelle et passagers, rotor, réducteur, tambour, poulies, câbles et contrepoids.

Q11. Énergies cinétiques galiléennes de $N p$ (en fonction de $v$ ), de \{rotor + réducteur\} (de $ω_{m}$ ), du tambour (de $ω_{t a}$ ).
Q12. Énergies cinétiques des autres solides de $Σ$ .
Q13. Montrer que $E_{c, Σ/0} = \frac{1}{2} J_{e q Σ} ω_{m}^{2}$ et exprimer $J_{e q Σ}$ .
Q14. Avec $J_{e q Σ} = 16, 8 kg \cdot m^{2}$ ( $n = 200$ ), montrer que l'absence de passagers modifie peu $J_{e q Σ}$ .
Q15. Puissances de la pesanteur sur $N p$ et sur $c p$ .
Q16. Lister et calculer les autres puissances extérieures à $Σ$ .
Q17. Quelles hypothèses annulent la puissance intérieure à $Σ$ ?
Q18. Par le théorème de l'énergie cinétique, établir $J_{e q Σ} \frac{d ω _{m}}{d t} = c_{e m} (t) - C_{0}$ (Eq. 1) et exprimer $C_{0}$ .

La puissance $p_{e m} = c_{e m} ω_{m}$ a été mesurée pendant les phases à vitesse constante, avec 200 passagers (Figure 6).

{ Figure 6 — Puissance électromagnétique mesurée in situ pendant les phases à vitesse constante (montée de $t_{1}$ à $t_{2}$ , descente de $t_{5}$ à $t_{6}$ ).}

Q19. En montée à vitesse $v_{n o m}$ , simplifier Eq. 1 et exprimer $p_{e m}$ en fonction de $C_{0}$ , $v_{n o m}$ , $k_{c in}$ .
Q20. Comparer au relevé de la Figure 6 ; conclure sur le modèle et dire quelle hypothèse du Tableau 3 remettre en cause.

Modèle plus représentatif : $J_{0} \frac{d ω _{m}}{d t} = Δ c_{e m} (t) - c_{R} (t) + k_{cr z} z (t)$ (Eq. 2), avec $z = k_{c in} θ_{m}$ , $Δ c_{e m}$ la variation de couple depuis l'état initial ( $z = θ_{m} = ω_{m} = Δ c_{e m} = 0$ en $t = 0$ ), $c_{R}$ une perturbation de couple et $k_{cr z} > 0$ .

Q21. Déterminer $H_{1} (p)$ telle que $Ω_{m} (p) = H_{1} (p) (Δ C_{e m} (p) - C_{R} (p))$ (conditions de Heaviside) ; justifier que ce modèle est instable.

Corrigé

Q11. On applique le théorème de Koenig dans ses deux cas particuliers : translation et rotation autour d'un axe fixe.

$N p$ est en translation rectiligne suivant $z$ (glissière avec le mât) : $E_{c, N p /0} = \frac{1}{2} M_{N p} v^{2} (t)$ .
\{rotor + réducteur\} : l'inertie de l'ensemble est déjà ramenée à l'axe de l'actionneur, fixe dans $R_{0}$ : $E_{c, m r /0} = \frac{1}{2} J_{m r} ω_{m}^{2} (t)$ .
Tambour en rotation autour de l'axe fixe $(O_{t a}, x)$ : $E_{c, t a /0} = \frac{1}{2} J_{t a} ω_{t a}^{2} (t)$ .

Q12. Autres solides de $Σ$ :

contrepoids $c p$ , en translation verticale : $E_{c, c p /0} = \frac{1}{2} M_{c p} v_{c p}^{2} (t)$ ;
poulie équivalente $p e q$ , en rotation autour de l'axe fixe $(O_{p e q}, x)$ : $E_{c, p e q /0} = \frac{1}{2} J_{p e q} ω_{p e q}^{2} (t)$ ;
poulies $p r$ et $p c p$ : masse et inertie négligées, $E_{c, p r /0} = E_{c, p c p /0} = 0$ ;
câbles $c t$ et $ce q$ : masse négligée, $E_{c, c t /0} = E_{c, ce q /0} = 0$ .

Q13. L'énergie cinétique est additive : $E_{c, Σ/0}$ est la somme des termes de Q11 et Q12. On exprime toutes les vitesses en fonction de $ω_{m}$ grâce aux relations cinématiques : $v = k_{c in} ω_{m}$ , $v_{c p}^{2} = v^{2} = k_{c in}^{2} ω_{m}^{2}$ , $ω_{t a} = k_{r e d} ω_{m}$ , $ω_{p e q} = v / R_{p e q} = k_{c in} ω_{m} / R_{p e q}$ . D'où

$E_{c, Σ/0} = \frac{1}{2} [M_{N p} k_{c in}^{2} + J_{m r} + J_{t a} k_{r e d}^{2} + M_{c p} k_{c in}^{2} + J_{p e q} \frac{k _{c in}^{2}}{R _{p e q}^{2}}] ω_{m}^{2} = \frac{1}{2} J_{e q Σ} ω_{m}^{2}$

avec l'inertie équivalente ramenée à l'arbre moteur

$J_{e q Σ} = J_{m r} + J_{t a} k_{r e d}^{2} + (M_{N p} + M_{c p} + \frac{J _{p e q}}{R _{p e q}^{2}}) k_{c in}^{2}$

Ordres de grandeur : $J_{m r} = 11 kg \cdot m^{2}$ , $J_{t a} k_{r e d}^{2} = 24 120/15 3^{2} = 1, 03 kg \cdot m^{2}$ , $M_{N p} k_{c in}^{2} = 110 000/20 4^{2} = 2, 64 kg \cdot m^{2}$ , $M_{c p} k_{c in}^{2} = 1, 73 kg \cdot m^{2}$ . Avec la valeur $16, 8 kg \cdot m^{2}$ donnée en Q14, le terme de $p e q$ vaut environ $0, 40 kg \cdot m^{2}$ (soit $R_{p e q} \approx 1, 1 m$ ). Le rotor et le réducteur représentent à eux seuls les deux tiers de l'inertie vue par le moteur : c'est l'effet du réducteur, qui divise les inerties aval par le carré du rapport de réduction.

Q14. Seul $M_{N p}$ dépend du nombre de passagers. Sans passager, $M_{N p}$ diminue de $m_{p} = 16000 kg$ et

$Δ J_{e q Σ} = m_{p} k_{c in}^{2} = \frac{16 000}{20 4 ^{2}} = 0, 384 kg \cdot m^{2}, \frac{Δ J _{e q Σ}}{J _{e q Σ}} = \frac{0 , 384}{16 , 8} = 2, 3%.$

Une variation relative de $2, 3%$ est négligeable : l'inertie équivalente peut être considérée comme indépendante du nombre de passagers.

Q15. Pesanteur, glisseur en $G$ de résultante $- M_{N p} g z$ ; $N p$ en translation à la vitesse $v z$ :

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