Corrigé Centrale 2026 S2I MP — Partie D (Q22 à Q30) : Stabilisation et correction PI de la boucle de vitesse

Sujet officiel du concours Centrale, session 2026, épreuve S2I MP. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Commande (Figure 4) : $c_{e m} = c_{r e f}$ (préactionneur rapide) ; $ω_{m}$ , $θ_{m}$ mesurées sur le rotor.

{ Figure 4 — Structure fonctionnelle de la commande.}

I — Stabilisation.

Le couple est commandé par $Δ c_{e m} (t) = - K_{1} ω_{m} (t) - K_{2} \int_{0}^{t} (ω_{m} (x) - K_{3} ω_{m c} (x)) d x$ (Eq. 3), $K_{1}$ , $K_{2}$ , $K_{3} > 0$ . On souhaite $H_{s t ab} (p) = \frac{1}{1 + \frac{2 ξ _{s}}{ω _{0 s}} p + \frac{p ^{2}}{ω _{0 s}^{2}}}$ avec $ξ_{s} ⩾ 1$ et $ω_{0 s} = 3 rad \cdot s^{- 1}$ (Tableau 4).

Q22. Avec Eq. 2 et Eq. 3, $C_{R} = 0$ , déterminer $H_{s t ab} (p) = Ω_{m} (p) / Ω_{m c} (p)$ .
Q23. Exprimer $K_{1}$ , $K_{2}$ , $K_{3}$ en fonction de $ξ_{s}$ , $ω_{0 s}$ , $J_{0}$ , $k_{cr z}$ , $k_{c in}$ .
Q24. Avec $J_{0} = 16, 8 kg \cdot m^{2}$ , $k_{c in} = 1/204 m \cdot ra d^{- 1}$ , $k_{cr z} = 4, 5 N$ , en déduire les conditions numériques sur $K_{1}$ et $K_{2}$ .
Q25. On admet $G_{s} (p) = Ω_{m} / C_{R} = - H_{s t ab} (p) \frac{p}{J _{0} ω _{0 s}^{2}}$ . Pour $c_{R} = C_{R 0} (n)$ constant, montrer que la masse des passagers influence $θ_{m}$ , donc $z$ , en régime permanent.

II — Asservissement de vitesse (Figure 7).

On prend $H_{s t ab} (p) = \frac{1}{( 1 + 1 , 24 p ) ( 1 + 0 , 09 p )}$ et un correcteur PI $C (p) = K_{i} \frac{1 + T _{i} p}{T _{i} p}$ , $T_{i}$ compensant le pôle dominant de $H_{s t ab}$ .

{ Figure 7 — Asservissement de vitesse angulaire.}

{

Performance	Critère	Niveau
Stabilité	dépassements relatifs, consigne en échelon	$D_{k} % = 0\forall k$
	marge de phase	$M φ = 8 0^{\circ}$
	marge de gain	$M G ⩾ 50 dB$
Précision	erreur permanente $μ_{v}$ , consigne en échelon	$μ_{v} = 0$
	sensibilité permanente à une perturbation en échelon	insensible

Tableau 5 — Cahier des charges de la boucle de vitesse.}

Q26. Pôles de $H_{s t ab}$ , pôle dominant (justifier), valeur de $T_{i}$ .

{ Figure 8 — Bode de la boucle ouverte corrigée ( $K_{i} = 1$ , pôle dominant compensé).}

Q27. Condition sur $K_{i}$ pour les critères de marges de gain et de phase.
Q28. On admet $G (p) = Ω_{m} / C_{R} = \frac{a _{0} p ^{2}}{b _{0} + b _{1} p + b _{2} p ^{2} + b _{3} p ^{3}}$ . Pour $c_{R} = C_{R 0} (n)$ constant, montrer que vitesse et position permanentes ne dépendent pas de $n$ .

{ Figure 9 — Bode de $F T B F = Ω_{m} / Ω_{m c}$ (correcteur réglé).}

Q29. Conclure sur l'ensemble des performances du Tableau 5.

III — Vérification.

Montée simulée pour $n = 0$ et $n = 200$ , $c_{e m} (0) = C_{R 0} (n)$ :

{ Figure 10 — Accélérations selon $n$ (pic final vers $305 s$ ).}

{ Figure 11 — Vitesses selon $n$ .}

Q30. Conclure sur les critères de sécurité et de confort (Tableau 2), quel que soit $n$ .

Corrigé

Q22. Transformées de Laplace, conditions initiales nulles, $C_{R} = 0$ :

Eq. 2 avec $Z = k_{c in} Ω_{m} / p$ : $J_{0} p Ω_{m} = Δ C_{e m} + \frac{k _{cr z} k _{c in}}{p} Ω_{m}$ ;
Eq. 3 : $Δ C_{e m} = - K_{1} Ω_{m} - \frac{K _{2}}{p} (Ω_{m} - K_{3} Ω_{m c})$ .

En remplaçant et en multipliant par $p$ :

$(J_{0} p^{2} + K_{1} p + K_{2} - k_{cr z} k_{c in}) Ω_{m} (p) = K_{2} K_{3} Ω_{m c} (p),$

$H_{s t ab} (p) = \frac{K _{2} K _{3}}{K _{2} - k _{cr z} k _{c in} + K _{1} p + J _{0} p ^{2}}$

Le retour en $K_{1} ω_{m}$ apporte l'amortissement, le retour intégral en $K_{2}$ apporte une raideur qui compense la « raideur négative » $k_{cr z} k_{c in}$ de Q21.

Q23. On met $H_{s t ab}$ sous forme canonique en divisant par $K_{2} - k_{cr z} k_{c in}$ (supposé positif) :

$H_{s t ab} (p) = \frac{\frac{K _{2} K _{3}}{K _{2} - k _{cr z} k _{c in}}}{1 + \frac{K _{1}}{K _{2} - k _{cr z} k _{c in}} p + \frac{J _{0}}{K _{2} - k _{cr z} k _{c in}} p ^{2}} .$

Identification avec la forme souhaitée (gain statique unitaire) :

$\frac{1}{ω _{0 s}^{2}} = \frac{J _{0}}{K _{2} - k _{cr z} k _{c in}}, \frac{2 ξ _{s}}{ω _{0 s}} = \frac{K _{1}}{K _{2} - k _{cr z} k _{c in}}, K_{2} K_{3} = K_{2} - k_{cr z} k_{c in},$

d'où

$K_{2} = J_{0} ω_{0 s}^{2} + k_{cr z} k_{c in}, K_{1} = 2 ξ_{s} ω_{0 s} J_{0}, K_{3} = \frac{J _{0} ω _{0 s}^{2}}{J _{0} ω _{0 s}^{2} + k _{cr z} k _{c in}}$

Q24. $k_{cr z} k_{c in} = 4, 5/204 = 2, 21 \times 1 0^{- 2} N \cdot m \cdot ra d^{- 1}$ et $J_{0} ω_{0 s}^{2} = 16, 8 \times 9 = 151, 2 N \cdot m \cdot ra d^{- 1}$ .

Rapidité ( $ω_{0 s} = 3 rad \cdot s^{- 1}$ imposée) : $K_{2} = 151, 2 N \cdot m \cdot ra d^{- 1}$ (plus précisément $151, 22$ ) ;
stabilité ( $ξ_{s} ⩾ 1$ ) : $K_{1} = 2 ξ_{s} ω_{0 s} J_{0} ⩾ 2 \times 3 \times 16, 8$ , soit $K_{1} ⩾ 100, 8 N \cdot m \cdot s \cdot ra d^{- 1}$ ;
et $K_{3} = 151, 2/151, 22 = 0, 99985 \approx 1$ : le terme $k_{cr z} k_{c in}$ est tout petit devant $J_{0} ω_{0 s}^{2}$ .

Q25. $Θ_{m} (p) = Ω_{m} (p) / p$ , donc $\frac{Θ _{m} ( p )}{C _{R} ( p )} = - \frac{H _{s t ab} ( p )}{J _{0} ω _{0 s}^{2}}$ . Pour un échelon $C_{R} (p) = C_{R 0} (n) / p$ (consigne nulle, par superposition), le théorème de la valeur finale donne, $H_{s t ab}$ étant stable et de gain statique $1$ :

$ω_{m \infty} = p \to 0 lim p G_{s} (p) \frac{C _{R 0}}{p} = 0, θ_{m \infty} = p \to 0 lim p (- \frac{H _{s t ab} ( p )}{J _{0} ω _{0 s}^{2}}) \frac{C _{R 0} ( n )}{p} = - \frac{C _{R 0} ( n )}{J _{0} ω _{0 s}^{2}} .$

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