Corrigé Centrale 2026 S2I MP — Partie E (Q31 à Q33) : Bilan énergétique et récupération à la descente

Sujet officiel du concours Centrale, session 2026, épreuve S2I MP. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

On simule un cycle complet (montée, $10 min$ au sommet, descente) avec les hypothèses précédentes, sauf celle remise en cause en C-III ; seules les pertes par effet Joule de l'actionneur sont comptées. Notations : $p_{J} = R_{s} (i_{d s}^{2} + i_{q s}^{2})$ ; $p_{e m} = c_{e m} ω_{m}$ , algébrique ( $> 0$ en moteur, $< 0$ en générateur, l'énergie étant alors renvoyée au réseau via le préactionneur) ; $E_{m} (t) = \int_{0}^{t} p_{e m} d x$ , $E_{J} (t) = \int_{0}^{t} p_{J} d x$ , énergie électrique consommée $E_{e} = E_{m} + E_{J}$ .

{ Figure 12 — Énergies $E_{m} (t)$ et $E_{J} (t)$ sur un cycle complet (valeurs lues : $E_{m}$ plafonne à $4, 6 \times 1 0^{7} J$ pour $n = 200$ et $2, 55 \times 1 0^{7} J$ pour $n = 0$ ; $E_{J}$ vaut $7, 5 \times 1 0^{5} J$ en $t_{3}$ et $1, 48 \times 1 0^{6} J$ en $t_{7}$ pour $n = 200$ , $2, 9 \times 1 0^{5}$ et $5, 7 \times 1 0^{5} J$ pour $n = 0$ ).}

Q31. Pour $n = 200$ , commenter la valeur de $E_{m} (t = 1200 s)$ ; quelles hypothèses (au moins deux) remettre en cause pour un modèle plus réaliste ?

{ Figure 13 — Structure fonctionnelle de l'alimentation de l'actionneur.}

Rendements du préactionneur (constants) : en moteur ( $p_{e m} > 0$ ), $η_{e \to m} = E_{e} / E_{p a} = 0, 93$ ; en générateur ( $p_{e m} < 0$ ), $η_{m \to e} = E_{p a} / E_{e} = 0, 6$ .

Q32. Pour $n = 200$ , calculer $E_{p a, a} = E_{p a} (t_{3}) - E_{p a} (t_{0})$ (montée) et $E_{p a, d} = E_{p a} (t_{7}) - E_{p a} (t_{4}) < 0$ (descente) ; conclure sur l'exigence Id 3.

Évolution proposée par POMA : embarquement à $z = 4 m$ , débarquement au sol ; la montée chargée ne fait plus que $126 m$ , la descente chargée $130 m$ , puis la nacelle vide remonte de $4 m$ .

Q33. Quantifier en % l'économie d'énergie électrique (hypothèses simplificatrices à préciser) et conclure sur la pertinence de cette évolution.

Corrigé

Q31. On lit $E_{m} (1200 s) = 0$ : sur un cycle complet, l'énergie mécanique fournie par l'actionneur est nulle. Les $4, 6 \times 1 0^{7} J$ ( $12, 8 kWh$ ) fournis à la montée sont intégralement restitués à la descente, où l'actionneur fonctionne en générateur. C'est la conséquence directe des hypothèses : les seules actions qui travaillent sont la pesanteur (conservative, y compris le terme $k_{cr z} z$ lié au poids des câbles, qui dérive lui aussi d'une énergie potentielle) et les inerties ; aucune puissance n'est dissipée dans la chaîne mécanique. La nacelle revenant à son point de départ avec une vitesse nulle, le bilan mécanique est nul. Un tel résultat n'est pas réaliste : un mécanisme réel dissipe toujours de l'énergie, et $E_{m} (t_{7})$ serait strictement positif.

Hypothèses à remettre en cause (au moins deux) :

liaisons parfaites : frottements dans les pivots du tambour et des poulies, dans la glissière nacelle/mât et le guidage du contrepoids ;
réducteur sans pertes (rendement unitaire) : pertes par frottement aux engrènements et dans les roulements ;
actions aérodynamiques et vent négligés : traînée de la nacelle et effort du vent, non négligeables sur un ouvrage de $160 m$ en bord de mer ;
câbles inextensibles et parfaitement souples : pertes par flexion alternée et hystérésis au passage des poulies, élasticité ;
pertes de l'actionneur limitées à l'effet Joule : pertes fer et mécaniques ignorées.

Q32. Montée ( $t_{0} \to t_{3}$ , fonctionnement moteur, $p_{e m} > 0$ ). Lecture de la Figure 12 : $E_{m} (t_{3}) = 4, 60 \times 1 0^{7} J$ et $E_{J} (t_{3}) = 7, 5 \times 1 0^{5} J$ , d'où l'énergie électrique consommée par l'actionneur $E_{e} (t_{3}) - E_{e} (t_{0}) = 4, 675 \times 1 0^{7} J$ . Le préactionneur, de rendement $0, 93$ , prélève sur le réseau

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