Corrigé Centrale 2026 S2I PSI — Partie B (Q5 à Q10) : Modèle de roulis à basse vitesse : un pendule inversé instable

Sujet officiel du concours Centrale, session 2026, épreuve S2I PSI. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Le scooter suit une trajectoire rectiligne ; on étudie son roulis (figure 6). Mêmes solides et mêmes notations qu'en partie A ( $Σ = {1 + 2 + 3 + 4}$ , masse $M$ , points de contact $A$ et $B$ ).

$R_{0} = (O_{0}, x_{0}, y_{0}, z_{0})$ lié au sol, $x_{0}$ vertical ascendant, galiléen ;
$R_{1} = (G, x_{1}, y_{1}, z_{1})$ lié à l'ensemble \{cadre + pilote\} (1), avec $y_{1} = y_{0}$ ; angle de roulis $β = (x_{0}, x_{1})$ ; matrice d'inertie $I_{G, 1} = A_{1} - F_{1} 0 - F_{1} B_{1} 0 00 C_{1}_{G, B_{1}}$ ;
fourche (2) de masse négligée, bloquée par rapport à (1) dans cette partie ; angle de chasse $α = (x_{1}, x_{2}) = - 2 0^{\circ}$ autour de $z_{1} = z_{2}$ ;
roues (3) et (4) de rayon $R$ , de masse et d'inertie négligées, roulement sans glissement en $A$ et $B$ , $A O_{3} = B O_{4} = R x_{1}$ ; $O_{3} G = - d y_{2} + h_{3} x_{1} - a_{3} y_{1}$ ( $d$ : déport de la fourche) ; $O_{4} G = h x_{1} + a_{4} y_{1}$ .

Figure 6 — Paramétrage du scooter : vue de côté, vue arrière (roulis $β$ ) et figures de changement de base (dessin simplifié).

Q5. Faire le bilan des actions mécaniques extérieures à $Σ$ et écrire leurs torseurs.
Q6. Par dérivation vectorielle de $O_{0} G$ dans $B_{0}$ , calculer $Γ (G, 1/0)$ et l'exprimer dans $B_{1}$ en fonction de $β ˙$ , $β ¨$ , $v ˙$ et de la géométrie.
Q7. Calculer le moment dynamique en $G$ de (1) dans son mouvement par rapport à (0), puis le moment dynamique en $A$ suivant $y_{1}$ .
Q8. Par le théorème du moment dynamique en $A$ projeté sur $y_{1}$ , écrire l'équation du mouvement sous la forme $β ¨ = q (β)$ .

Après une petite perturbation, $β (0) = 0$ et $β ˙ (0) = Ω_{0}$ ; la linéarisation de Q8 donne $β ¨ (t) = K_{1} β (t)$ avec $K_{1} > 0$ .

Q9. Par la transformation de Laplace, montrer que le comportement se représente par le schéma-bloc de la figure 7 ( $c > 0$ , $Ω_{0}$ traité comme un signal d'entrée) ; exprimer $K$ et $c$ .

Figure 7 — Modèle dynamique de l'angle de roulis de l'ensemble \{pilote + scooter\}.

Q10. Conclure quant à la stabilité du scooter.

Corrigé

Q5. On isole $Σ = {1 + 2 + 3 + 4}$ ; les liaisons pivots internes, le frein et la direction sont des actions intérieures. Actions extérieures :

la pesanteur : $T_{pes \to Σ} = {- M g x_{0} 0}_{G}$ ;
le sol sur la roue avant, liaison sphère-plan avec frottement de normale $x_{0}$ : $T_{sol \to 3} = {X_{A} x_{0} + Y_{A} y_{0} + Z_{A} z_{0} 0}_{A}$ ;
le sol sur la roue arrière : $T_{sol \to 4} = {X_{B} x_{0} + Y_{B} y_{0} + Z_{B} z_{0} 0}_{B}$ .

$X_{A}$ , $X_{B}$ sont les efforts normaux ( $\geq 0$ ) ; $(Y, Z)$ les composantes tangentielles, que le frottement autorise (roulement sans glissement). Les moments sont nuls aux points de contact (résistance au roulement et au pivotement négligées). Soit 6 inconnues de liaison, plus le poids connu.

Q6. Le scooter avance en ligne droite : les points de contact $A$ et $B$ restent sur une droite du sol de direction $y_{0}$ , que l'on prend passant par $O_{0}$ ; l'ensemble (1) y roule autour de cette droite. Interprétation (le sujet ne le précise pas) : $v$ désigne la vitesse d'avance du scooter, c'est-à-dire celle des points de contact, d'où $O_{0} B = y_{B} (t) y_{0}$ avec $y ˙_{B} = v$ . Avec la chaîne $O_{0} G = O_{0} B + B O_{4} + O_{4} G$ :

$O_{0} G = y_{B} y_{0} + (R + h) x_{1} + a_{4} y_{1} .$

Le vecteur rotation est $Ω (1/0) = β ˙ y_{0}$ , donc $[\frac{d x _{1}}{d t}]_{B_{0}} = β ˙ y_{0} \land x_{1} = - β ˙ z_{1}$ et $[\frac{d z _{1}}{d t}]_{B_{0}} = β ˙ y_{0} \land z_{1} = β ˙ x_{1}$ , $y_{1} = y_{0}$ étant fixe. D'où

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