Corrigé Centrale 2026 S2I PSI — Partie C (Q11 à Q16) : Actionneur gyroscopique et échec de la correction proportionnelle

Sujet officiel du concours Centrale, session 2026, épreuve S2I PSI. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

I — Modélisation du gyroscope.

Un actionneur gyroscopique est fixé sur le cadre (1) : un volant d'inertie (V), entraîné à vitesse constante, tourne dans un support piloté (S) ; une machine électrique commande l'angle $ψ$ du support (figure 8).

$R_{1}$ , lié à \{cadre + pilote\} (1), est supposé galiléen (vitesse constante, ligne droite) ;
$R_{S} = (O_{V}, x_{S}, y_{S}, z_{S})$ lié à (S), $z_{S} = z_{1}$ , $ψ = (x_{1}, x_{S})$ ; masse de (S) négligée ;
$R_{V}$ lié au volant, $x_{V} = x_{S}$ ; $ω_{v}$ , vitesse de rotation constante de (V) par rapport à (S) autour de $(O_{V}, x_{S})$ ; centre d'inertie $O_{V}$ et $I_{O_{V}, V} = A_{V} 00 0 B_{V} 0 00 B_{V}_{O_{V}, B_{S}}$ ;
actions : $T_{1 \to S} = {F_{1 S} L_{1 S} x_{S} + M_{1 S} y_{S}}_{O_{V}}$ , $T_{m \to S} = {0 C_{m} z_{S}}_{\forall P}$ ; pesanteur négligée ; moment dynamique de (S) négligé devant celui de (V).

Figure 8 — Gyroscope piloté : schéma simplifié vu selon $z_{1}$ (le sujet donne un modèle 3D en perspective, où $x_{S}$ apparaît de l'autre côté de $x_{1}$ ; on dessine ici $ψ > 0$ dans le sens direct autour de $z_{1} = z_{S}$ ) et figure de changement de base.

Q11. Tracer le graphe de structure reliant (1), (S) et (V) avec toutes les actions mécaniques sur (S) et (V).
Q12. Proposer une démarche pour obtenir $C_{m}$ en fonction de $ψ ¨$ .
Q13. Calculer $σ (O_{V}, V /1)$ dans la base $B_{S}$ .
Q14. Suivre cette démarche et exprimer $C_{m}$ en fonction de $ψ ¨$ .

II — Loi de commande avec retour sur l'angle de roulis.

À basse vitesse en ligne droite ( $β \approx 0$ , $ψ \approx 0$ ), le modèle complet donne ( $I_{1 y}$ : moment d'inertie de (1) autour de $y_{1}$ ) :

$(I_{1 y} + B_{V}) β ¨ (t) = - A_{V} ω_{v} ψ ˙ (t) + M g h_{2} β (t) (1)$

$C_{m} (t) + A_{V} ω_{v} β ˙ (t) = B_{V} ψ ¨ (t) (2)$

Avec un correcteur proportionnel $K_{cor}$ , on obtient le schéma-bloc de la figure 9.

Figure 9 — Asservissement de l'angle de roulis $β$ avec un correcteur proportionnel.

Q15. Exprimer sous forme canonique la fonction de transfert en boucle fermée $β (p) / β_{c} (p)$ .
Q16. Conclure sur le comportement du scooter gyrostabilisé ainsi corrigé et sur le respect du cahier des charges.

Corrigé

Q11. Graphe de structure : deux liaisons pivots en série entre le cadre et le volant, et les actions extérieures appliquées à (S) et (V).

Le stator de la machine est lié à (1) ; la pesanteur est négligée ; le volant n'est soumis qu'à l'action de (S). La liaison 1--S laisse libre la rotation $ψ$ (d'où l'absence de moment sur $z_{S}$ dans $T_{1 \to S}$ ), la liaison S--V la rotation propre du volant.

Q12. Démarche :

isoler l'ensemble $E = {S + V}$ (et non (S) seul, pour ne pas faire intervenir l'action inconnue de (V) sur (S), dont le moment sur $z_{S}$ n'est pas nul) ;
bilan des actions extérieures à $E$ : $T_{1 \to S}$ (moment en $O_{V}$ sans composante sur $z_{S}$ ) et $T_{m \to S}$ (couple $C_{m} z_{S}$ ) ;
appliquer le théorème du moment dynamique à $E$ dans $R_{1}$ galiléen, en $O_{V}$ , projeté sur $z_{S}$ : c'est l'équation qui élimine les inconnues de liaison $F_{1 S}$ , $L_{1 S}$ , $M_{1 S}$ : $C_{m} = δ (O_{V}, E /1) \cdot z_{S} ≃ δ (O_{V}, V /1) \cdot z_{S}$ (moment dynamique de (S) négligé) ;
calculer $σ (O_{V}, V /1)$ (Q13) puis le dériver dans $R_{1}$ : $O_{V}$ est fixe dans $R_{1}$ , donc $δ (O_{V}, V /1) = [d σ (O_{V}, V /1) / d t]_{R_{1}}$ .

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