Corrigé Centrale 2026 S2I PSI — Partie D.I (Q17 à Q22) : Loi de commande à trois mesures par placement de pôles

Sujet officiel du concours Centrale, session 2026, épreuve S2I PSI. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Structure de commande de la figure 10 (modèle (1)-(2) de la partie C) ; $k_{1}$ , $k_{2}$ , $k_{3}$ sont trois gains à déterminer.

Figure 10 — Asservissement de l'angle de roulis $β$ avec trois mesures.

Pour un temps d'établissement $t_{e} = 0, 5 s$ et avec $ω_{0} t_{e} \approx 3$ , on place les pôles en boucle fermée en $p_{1, 2} = - ω_{0} (ξ \pm i 1 - ξ^{2})$ et $p_{3} = - 60 s^{- 1}$ , avec $ω_{0} = 6 rad \cdot s^{- 1}$ et $ξ = 0, 9$ .

Q17. Établir $H (p) = \frac{β ( p )}{β _{c} ( p )} = \frac{A _{V} ω _{v}}{A ( k _{1} , k _{3} ) + B ( k _{2} ) p - C ( k _{3} ) p ^{2} - D p ^{3}}$ et préciser $A$ , $B$ , $C$ , $D$ .

Les pôles imposés vérifient (3) : $A + B p_{i} - C p_{i}^{2} - D p_{i}^{3} = 0$ pour tout $p_{i}$ .

Q18. Écrire (3) sous la forme $E_{0} (p_{i}) + E_{1} (p_{i}) k_{1} + E_{2} (p_{i}) k_{2} + E_{3} (p_{i}) k_{3} = 0$ (4) et préciser $E_{0}$ , $E_{1}$ , $E_{2}$ , $E_{3}$ .

On pose $E_{0} (p_{i}) = e_{01} p_{i} - e_{03} p_{i}^{3}$ , $E_{1} (p_{i}) = e_{10}$ , $E_{2} (p_{i}) = e_{21} p_{i}$ , $E_{3} (p_{i}) = e_{30} - e_{32} p_{i}^{2}$ ; (4) écrite pour les trois pôles donne un système linéaire à coefficients complexes $A L = B$ , de lignes $(E_{1} (p_{i}), E_{2} (p_{i}), E_{3} (p_{i}))$ , d'inconnue $L = (k_{1}, k_{2}, k_{3})^{T}$ et de second membre $(- E_{0} (p_{i}))$ .

Q19. Compléter le code (fonctions de l'annexe 1) créant $A$ et $B$ puis résolvant le système ; déjà écrit :


import numpy as np
P=[p1,p2,p3]
E=[e01,e03,e10,e21,e30,e32]

La résolution renvoie :


[[-1.28887686e+02-4.09276709e-14j]
 [-1.56241539e+01-1.11022302e-16j]
 [ 3.18600000e-02-2.16840434e-19j]]

Q20. Donner les valeurs de $k_{1}$ , $k_{2}$ , $k_{3}$ à retenir.

Figure 11 — Réponse à un échelon de consigne de $0, 01 rad$ appliqué à $t = 0, 1 s$ (à droite : zoom, $β$ tend vers $- 2, 05 \times 1 0^{- 4} rad$ ).

Q21. Analyser et commenter cette réponse.

On ajoute l'exigence : écart statique nul pour une consigne en échelon. Un gain de pré-compensation $K_{g}$ est placé en amont (figure 12) ; la réponse obtenue est celle de la figure 13.

Figure 12 — Système stabilisé en roulis avec pré-compensateur.

Figure 13 — Réponse à un échelon de $0, 01 rad$ avec le gain $K_{g}$ adapté.

Q22. Proposer la valeur numérique de $K_{g}$ qui assure l'exigence de précision.

Corrigé

Q17. Notons $u$ le couple à l'entrée du bloc $1/ B_{V}$ et $w$ la sortie du premier intégrateur : d'après (2), $w = u / (B_{V} p)$ est la vitesse $ψ ˙$ du support, et c'est sur ce signal que le schéma prélève le retour $k_{3}$ . Ce que le correcteur attend : le texte du sujet parle d'une mesure de « l'angle $ψ$ », mais la figure 10 et la forme imposée de $H (p)$ (dénominateur de degré 3, $C$ fonction de $k_{3}$ ) imposent un retour sur $ψ ˙$ ; un retour sur $ψ$ donnerait un dénominateur de degré 4. Lecture des sommateurs (de gauche à droite) :

$u = β_{c} - k_{1} β - k_{2} pβ - k_{3} w + A_{V} ω_{v} pβ, (I_{1 y} + B_{V}) p^{2} β = - A_{V} ω_{v} w + M g h_{2} β .$

La première relation donne $w (B_{V} p + k_{3}) = β_{c} - k_{1} β + (A_{V} ω_{v} - k_{2}) pβ$ . En multipliant la seconde par $(B_{V} p + k_{3})$ :

$[(I_{1 y} + B_{V}) p^{2} - M g h_{2}] (B_{V} p + k_{3}) β = - A_{V} ω_{v} [β_{c} - k_{1} β + (A_{V} ω_{v} - k_{2}) pβ] .$

On regroupe les termes en $β$ :

$H (p) = \frac{β ( p )}{β _{c} ( p )} = \frac{A _{V} ω _{v}}{A + B p - C p ^{2} - D p ^{3}}$

avec

$A (k_{1}, k_{3}) B (k_{2}) C (k_{3}) D = A_{V} ω_{v} k_{1} + M g h_{2} k_{3} = A_{V} ω_{v} k_{2} - (A_{V} ω_{v})^{2} + M g h_{2} B_{V} = (I_{1 y} + B_{V}) k_{3} = (I_{1 y} + B_{V}) B_{V}$

(calcul contrôlé par calcul formel). Contrairement à Q15, le gain $k_{3}$ fait apparaître le terme en $p^{2}$ qui manquait, et $k_{2}$ ajuste celui en $p$ : les trois coefficients libres permettent de placer les trois pôles.

Q18. En développant (3) et en ordonnant selon les gains :

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