Corrigé Centrale 2026 S2I PSI — Partie D.II (Q23 à Q28) : Correcteur IP et robustesse paramétrique

Sujet officiel du concours Centrale, session 2026, épreuve S2I PSI. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Réglage (figures 10 et 12) calculé pour $ω_{v} = 2000 rad \cdot s^{- 1}$ et $M = 280 kg$ ; réponses à un échelon de $0, 01 rad$ à $t = 0, 1 s$ pour d'autres valeurs (figures 14-15).

Figure 14 (à gauche) — Effet de $ω_{v}$ . Figure 15 (à droite) — Effet de $M$ .

On ajoute un correcteur intégral-proportionnel (IP) $K_{i}$ , $T_{i}$ (figure 16) ; pôles de $H$ : $p_{1}$ , $p_{2}$ , $p_{3}$ de la partie D.I. Exigences : coupure à $0 dB$ en boucle ouverte $ω_{c} = 4 rad \cdot s^{- 1}$ , marge de phase $ΔΦ \geq 7 0^{\circ}$ ; $H_{b o} (p) = - S (p) / β^{*} (p)$ , boucle ouverte en $β^{*}$ (figure 17).

Figure 16 — Asservissement complet (figure 17 : coupure entre la sortie $S$ de l'IP et $β^{*}$ ).

Q23. Déterminer $H_{b o}$ en fonction de $K_{i}$ , $T_{i}$ , $K_{g}$ et $H (p) = β (p) / β_{c} (p)$ .
Q24. À l'aide du diagramme de Bode de $K_{g} H (p)$ (figure 18), montrer que la marge de phase impose $T_{i} \geq 0, 3 s$ .
Q25. Pour $T_{i} = 0, 3 s$ , déterminer $K_{i}$ vérifiant les deux exigences.
Q26. Avec le tracé corrigé de la figure 18, vérifier les exigences et conclure sur la stabilité.

Figure 18 — Diagrammes de Bode en boucle ouverte, non corrigée ( $K_{g} H$ ) et corrigée.

Avec $T_{i} = 0, 3 s$ et $K_{i}$ réglé : figures 19 à 21.

Figure 19 — Réponse à une condition initiale $β (0) = 0, 1 rad$ , consigne nulle.

Figure 20 (à gauche) — Effet de $ω_{v}$ . Figure 21 (à droite) — Effet de $M$ .

Q27. Commenter ces résultats au regard du cahier des charges (temps de réponse, amortissement, etc.).

Étude prospective, $260 \leq M \leq 420 kg$ (pas de $10 kg$ ), réglage inchangé : pôles dominants en boucle fermée et droites d'iso-amortissement (figures 22-23).

Figure 22 (à gauche) — Sans action intégrale. Figure 23 (à droite) — Avec action intégrale.

Q28. Analyser l'évolution des pôles sans puis avec action intégrale et conclure vis-à-vis du cahier des charges.

Corrigé

Q23. Avec $β_{ref} = 0$ (la boucle ouverte se calcule entrée de référence nulle), $ε_{z} = - β$ , et la sortie du correcteur IP vaut

$S (p) = \frac{K _{i}}{T _{i} p} ε_{z} - K_{i} β = - K_{i} (1 + \frac{1}{T _{i} p}) β (p), avec β (p) = K_{g} H (p) β^{*} (p) .$

D'où

$H_{b o} (p) = - \frac{S ( p )}{β ^{*} ( p )} = K_{i} \frac{1 + T _{i} p}{T _{i} p} K_{g} H (p) .$

Vu de la boucle ouverte, le correcteur IP est un proportionnel-intégral $K_{i} (1 + T_{i} p) / (T_{i} p)$ ; il n'en diffère que par l'absence de zéro dans la fonction de transfert en boucle fermée $β / β_{ref}$ (l'action proportionnelle est placée dans le retour), ce qui évite un dépassement dû au zéro. La classe 1 annule l'écart statique à un échelon, quelle que soit la valeur exacte de $K_{g} H (0)$ : c'est la réponse à la sensibilité paramétrique constatée sur les figures 14 et 15 (écarts statiques de $- 17%$ à $+ 19%$ ).

Q24. On impose $ω_{c} = 4 rad \cdot s^{- 1}$ et $ΔΦ = 18 0^{\circ} + ar g H_{b o} (j ω_{c}) \geq 7 0^{\circ}$ , soit $ar g H_{b o} (4 j) \geq - 11 0^{\circ}$ . La phase du correcteur est $ar g \frac{1 + j T _{i} ω}{j T _{i} ω} = arctan (T_{i} ω) - 9 0^{\circ}$ (indépendante de $K_{i}$ ) ; sur la figure 18, $ar g (K_{g} H (4 j)) \approx - 6 9^{\circ}$ (valeur confirmée par le calcul sur $K_{g} H (p) = \frac{- p _{1} p _{2} p _{3}}{( p - p _{1} ) ( p - p _{2} ) ( p - p _{3} )}$ : $- 65, 2^{\circ} - 3, 8^{\circ}$ ). Il faut donc

$- 6 9^{\circ} + arctan (4 T_{i}) - 9 0^{\circ} \geq - 11 0^{\circ} ⟺ arctan (4 T_{i}) \geq 4 9^{\circ}$

$⟺ T_{i} \geq \frac{tan 4 9 ^{\circ}}{4} \approx 0, 29 s .$

La phase apportée par le correcteur croît avec $T_{i}$ : il faut $T_{i} \geq 0, 3 s$ (valeur arrondie retenue par le sujet), l'action intégrale ne devant pas trop « coûter » de phase à la coupure.

Q25. $K_{i}$ fixe la coupure : $∣ H_{b o} (4 j) ∣ = 1$ . Sur la figure 18, $∣ K_{g} H (4 j) ∣_{dB} \approx - 2, 4 dB$ (calcul : $- 2, 45 dB$ ) ; pour $T_{i} = 0, 3 s$ , $T_{i} ω_{c} = 1, 2$ et

$\frac{1 + 1 , 2 j}{1 , 2 j} = \frac{1 + 1 , 44}{1 , 2} = 1, 30 (+ 2, 29 dB) .$

D'où $20 lo g K_{i} = 2, 45 - 2, 29 \approx 0, 16 dB$ :

$K_{i} \approx 1, 02 (sans dimension, pratiquement 1) .$

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