Corrigé Centrale 2026 S2I PSI — Partie E (Q29 à Q30) : Synthèse : pertinence de la commande et extension de la plage de masse

Q29. Rappel des acquis. Sans assistance, le scooter à basse vitesse est un pendule inversé instable (Q10), et le temps disponible pour activer l'assistance est d'environ $1,5\mathrm{s}$ (Q4). L'actionneur gyroscopique fournit un couple de roulis $-A_V{\omega }_v\dot{\psi }$ (Q14) qui permet de le stabiliser, mais pas avec un simple retour proportionnel sur $\beta$ (Q16) : il faut le retour des trois mesures $\beta$, $\dot{\beta }$, $\dot{\psi }$ (partie D), complété d'une pré-compensation (précision) puis d'une action intégrale (robustesse de la précision).

Masse restreinte au cahier des charges ($260\le M\le 300\mathrm{kg}$, $1800\le {\omega }_v\le 2200\mathrm{rad}\cdot {\mathrm{s}}^{-1}$).

• Commande par placement de pôles + $K_g$ (sans intégrale) : stable et rapide ($t_{5\%}\approx 0,7\mathrm{s}$), $\xi =0,9$ au nominal, mais $\xi \approx 0,86$ pour $260\mathrm{kg}$ et surtout un écart statique très sensible aux paramètres ($-17\%$ à $+19\%$, figures 14-15) : robustesse insuffisante (exigence 1.2).
• Avec la boucle IP : stabilité et précision robustes (écart statique nul pour toutes les valeurs de ${\omega }_v$ et de $M$), marge de phase $71^{\circ }$ (exigence satisfaite), marge de gain $\approx 23\mathrm{dB}$. En revanche, le temps de réponse vaut $1,3$ à $1,7\mathrm{s}$ (nominal : $1,4\mathrm{s}$), à la limite de $t_{\max }=1,5\mathrm{s}$ et au-delà pour ${\omega }_v=2200\mathrm{rad}\cdot {\mathrm{s}}^{-1}$ ou $M=260\mathrm{kg}$, et l'amortissement des pôles dominants ($\xi \approx 0,5$) est très inférieur à $0,9$ (dépassement de $38\%$ en rejet de perturbation, figure 19).