Corrigé e3a 2025 Maths MP — Exercice 1 (1 à 10) : Minimiser x²+y²+z²+t² sous x+y=2 : forme canonique, multiplicateur de Lagrange, projection orthogonale

1. Mise sous forme canonique. Pour $(u,v,w)\in {\mathbb{R}}^3$,

$$h(u,v,w)=2(u^2-2u)+v^2+w^2+4=2(u-1{)}^2+v^2+w^2+2.$$

Une somme de carrés est positive, donc $h(u,v,w)\ge 2=h(1,0,0)$ pour tout $(u,v,w)$, avec égalité si et seulement si $u-1=v=w=0$. Ainsi $h$ admet en $(1,0,0)$ un minimum global strict, égal à $2$, atteint en ce seul point.

Aucun autre extremum. $h$ est polynomiale, donc de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur l'ouvert ${\mathbb{R}}^3$, de gradient $\nabla h(u,v,w)=(4u-4,2v,2w)$, qui ne s'annule qu'en $(1,0,0)$. Par la condition nécessaire du premier ordre (un extremum local d'une fonction différentiable sur un ouvert est un point critique), $(1,0,0)$ est le seul point où $h$ peut présenter un extremum local : $h$ n'a donc aucun maximum, ni local ni global (d'ailleurs $h(u,0,0)=2(u-1{)}^2+2\to +\infty$ quand $u\to +\infty$, $h$ n'est pas majorée).

(On peut aussi invoquer les conditions du second ordre : la hessienne $\mathrm{diag}(4,2,2)$ est définie positive en ce point critique ; mais la forme canonique donne directement le caractère global.)

2. Paramétrage de $H$. L'application $\psi :(u,v,w)\mapsto (u,2-u,v,w)$ est une bijection de ${\mathbb{R}}^3$ sur $H$ : $\psi (u,v,w)\in H$ car $u+(2-u)=2$, et tout $X=(x,y,z,t)\in H$ s'écrit de façon unique $X=\psi (x,z,t)$ puisque $y=2-x$. De plus $\psi$ et sa réciproque $X\mapsto (x,z,t)$ sont continues (affines), donc $\psi$ envoie tout voisinage de $(u,v,w)$ dans ${\mathbb{R}}^3$ sur un voisinage de $\psi (u,v,w)$ dans $H$ : les extremums (locaux ou globaux) de $f_{|H}$ correspondent exactement à ceux de $f\circ \psi$. Or