Corrigé e3a 2025 Maths MP — Exercice 2 (9 à 19) : Éléments propres de la transformation de Fourier discrète : sous-espaces stables et spectre {1, −1, i, −i}

Sujet officiel du concours e3a, session 2025, épreuve Maths MP. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Notations de la première partie : $n \geq 3$ , $E_{n - 1} = C_{n - 1} [X]$ , $Q_{k} = X^{k}$ , $ω = e^{2 i π / n}$ , $φ_{ω} (P) = \frac{1}{n} \sum_{q = 0}^{n - 1} P (ω^{q}) X^{q}$ , de matrice $A_{ω}$ ; on a établi $(A_{ω})^{4} = I_{n}$ . Pour $q \in [[0, n - 1]]$ , $L_{q} = \frac{X ^{n} - 1}{X - ω ^{q}}$ ; ainsi $L_{0} = 1 + X + \dots + X^{n - 1}$ .

9. Valeurs propres possibles de $φ_{ω}$ ?
10. Exprimer les racines de $X^{n} - 1$ avec des puissances de $ω$ .
11. En déduire que chaque $L_{q}$ appartient à $E_{n - 1}$ .
On pose $H_{0} = Vect (Q_{0}, L_{0})$ , dont $(Q_{0}, L_{0})$ est une base (admis).
12. Vérifier que $H_{0}$ est stable par $φ_{ω}$ .
13. Matrice de l'endomorphisme induit sur $H_{0}$ dans la base $(Q_{0}, L_{0})$ .
14. En déduire un vecteur non nul de $Ker (φ_{ω} - Id)$ et un de $Ker (φ_{ω} + Id)$ .
15. Pour $n = 3$ , spectre de $A_{ω}$ .
16. Pour $n = 4$ , valeurs propres de $A_{ω}$ .
17. Valeurs propres de la matrice $B$ de taille $4$ dont les seuls coefficients non nuls sont $b_{1, 3} = \frac{n}{ω}$ , $b_{2, 4} = \frac{n}{ω ^{n - 1}}$ , $b_{3, 2} = \frac{ω}{n}$ , $b_{4, 1} = \frac{ω ^{n - 1}}{n}$ .
Désormais $n \geq 5$ .
18. Montrer que $G = Vect (Q_{1}, Q_{n - 1}, L_{1}, L_{n - 1})$ est de dimension $4$ et stable par $φ_{ω}$ .
19. Déterminer le spectre de $φ_{ω}$ .

Corrigé

9. D'après la question 7, $φ_{ω}^{4} = Id$ : le polynôme $X^{4} - 1$ annule $φ_{ω}$ . Toute valeur propre d'un endomorphisme est racine de tout polynôme annulateur (si $φ_{ω} (P) = λ P$ avec $P \neq = 0$ , alors $0 = (φ_{ω}^{4} - Id) (P) = (λ^{4} - 1) P$ , donc $λ^{4} = 1$ ). Ainsi

$Sp (φ_{ω}) \subset {1, - 1, i, - i} .$

10. Pour $q \in [[0, n - 1]]$ , $(ω^{q})^{n} = (ω^{n})^{q} = 1$ : les $ω^{q}$ sont racines de $X^{n} - 1$ . Ils sont deux à deux distincts, car $ω^{q} = ω^{q^{'}}$ avec $0 \leq q^{'} < q \leq n - 1$ imposerait $ω^{q - q^{'}} = 1$ avec $0 < q - q^{'} < n$ , contraire au fait que $ω$ est d'ordre $n$ (question 1). Le polynôme $X^{n} - 1$ , de degré $n$ , a au plus $n$ racines : ce sont exactement

$1, ω, ω^{2}, \dots, ω^{n - 1}, toutes simples, et X^{n} - 1 = p = 0 \prod n - 1 (X - ω^{p}) .$

11. Par la factorisation précédente, $L_{q} = \prod_{p \neq = q} (X - ω^{p})$ est un polynôme (la division est exacte) de degré $n - 1$ : $L_{q} \in E_{n - 1}$ . Nous utiliserons deux formules.

Coefficients. Pour $a \in C$ , $X^{n} - a^{n} = (X - a) \sum_{k = 0}^{n - 1} a^{n - 1 - k} X^{k}$ . Avec $a = ω^{q}$ ( $a^{n} = 1$ ) et $ω^{n - 1 - k} = ω^{- (k + 1)}$ :

$L_{q} = k = 0 \sum n - 1 ω^{- q (k + 1)} X^{k} .$

Valeurs aux racines. $L_{q} (ω^{p}) = 0$ si $p \neq = q$ (facteur nul dans le produit), et $L_{q} (ω^{q}) = \sum_{k = 0}^{n - 1} ω^{- q (k + 1)} ω^{q k} = n ω^{- q}$ .

Par conséquent, pour tout $q$ ,

$φ_{ω} (L_{q}) = \frac{1}{n} p = 0 \sum n - 1 L_{q} (ω^{p}) X^{p} = \frac{n ω ^{- q}}{n} X^{q} = n ω^{- q} Q_{q} . (*)$

12. D'une part $φ_{ω} (Q_{0}) = \frac{1}{n} \sum_{q = 0}^{n - 1} 1 \cdot X^{q} = \frac{1}{n} L_{0}$ . D'autre part, par $(*)$ avec $q = 0$ , $φ_{ω} (L_{0}) = n Q_{0}$ . Les images des deux vecteurs d'une base de $H_{0}$ sont dans $H_{0}$ , donc, par linéarité, $φ_{ω} (H_{0}) \subset H_{0}$ : $H_{0}$ est stable par $φ_{ω}$ .

13. Les colonnes sont les coordonnées de $φ_{ω} (Q_{0}) = 0 \cdot Q_{0} + \frac{1}{n} L_{0}$ et de $φ_{ω} (L_{0}) = n Q_{0} + 0 \cdot L_{0}$ :

$M_{0} = (0 \frac{1}{n} n 0) .$

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