Corrigé e3a 2025 Maths MP — Exercice 3 (1 à 7) : La série entière Σ xⁿ/(n!)² : rayon infini, classe C∞, inégalités lipschitziennes, équivalent en 0

1. La série entière $\sum \frac{z^n}{n!}$ a un rayon de convergence infini, et

$$\forall z\in \mathbb{C},{\mathrm{e}}^z=\sum _{n=0}^{+\infty }\frac{z^n}{n!};\text{en particulier}\forall x\in \mathbb{R},{\mathrm{e}}^x=\sum _{n=0}^{+\infty }\frac{x^n}{n!}.$$

Le domaine de validité est $\mathbb{R}$ tout entier (et même $\mathbb{C}$).

(Justification du rayon par le critère de d'Alembert : pour $x\ne 0$, $\frac{|x{|}^{n+1}/(n+1)!}{|x{|}^n/n!}=\frac{|x|}{n+1}\to 0<1$. L'égalité avec ${\mathrm{e}}^x$ en variable réelle découle de l'inégalité de Taylor-Lagrange, dont le reste est majoré par $\frac{|x{|}^{N+1}}{(N+1)!}{\mathrm{e}}^{|x|}\to 0$.)

2. Posons $a_n=\frac{1}{(n!{)}^2}>0$. Pour $x\ne 0$,

$$\frac{|a_{n+1}{x}^{n+1}|}{|a_n{x}^n|}=\frac{(n!{)}^2}{((n+1)!{)}^2}|x|=\frac{|x|}{(n+1{)}^2}\underset{n\to +\infty }{\to }0<1.$$