Corrigé e3a 2025 Maths MP — Exercice 3 (8 à 15) : La fonction g(x) = ∫₁ˣ dt/(t f(t)²) : signe, équivalent ln x en 0, limite finie et majoration par ln 2

Sujet officiel du concours e3a, session 2025, épreuve Maths MP. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

$f (x) = \sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{x ^{n}}{( n ! ) ^{2}}$ est de classe $C^{\infty}$ sur $R$ et vérifie $f (x) - 1 \sim x$ en $0$ (questions 2 à 7). Pour $x > 0$ , on pose $g (x) = \int_{1}^{x} \frac{d t}{t f ( t ) ^{2}}$ .

8. Justifier que $g$ est de classe $C^{\infty}$ sur $] 0, + \infty [$ .
9. Étudier le signe de $g$ .
10. Montrer que $g (x) \sim ln x$ quand $x \to 0$ .
11. Montrer que $f (t) > 1 + t$ pour tout $t > 0$ .
12. En déduire que $g$ a une limite finie en $+ \infty$ .
13. Décomposer en éléments simples $F (X) = \frac{1}{X ( 1 + X ) ^{2}}$ .
14. Montrer que, pour tout $x > 1$ , $g (x) \leq ln (\frac{x}{x + 1}) + \frac{1}{x + 1} + ln 2 - \frac{1}{2}$ .
15. En déduire que $g$ est majorée par $ln 2$ sur $] 0, + \infty [$ .

Corrigé

Un préliminaire.

Pour $t \geq 0$ , tous les termes $\frac{t ^{n}}{( n ! ) ^{2}}$ sont positifs et le terme $n = 0$ vaut $1$ , donc $f (t) \geq 1 > 0$ . La fonction

$u : t ⟼ \frac{1}{t f ( t ) ^{2}}$

est donc bien définie et strictement positive sur $] 0, + \infty [$ .

8. Sur l'intervalle $] 0, + \infty [$ , $t \mapsto t f (t)^{2}$ est de classe $C^{\infty}$ (produit de fonctions $C^{\infty}$ , par la question 3) et ne s'annule pas (préliminaire) : son inverse $u$ est de classe $C^{\infty}$ . En particulier $u$ est continue sur l'intervalle $] 0, + \infty [$ , qui contient $1$ ; par le théorème fondamental de l'analyse, $g : x \mapsto \int_{1}^{x} u (t) d t$ est l'unique primitive de $u$ qui s'annule en $1$ : $g$ est de classe $C^{1}$ et $g^{'} = u$ . Comme $u$ est de classe $C^{\infty}$ , $g^{'}$ l'est aussi, et $g$ est de classe $C^{\infty}$ sur $] 0, + \infty [$ .

9. $g^{'} = u > 0$ : $g$ est strictement croissante sur $] 0, + \infty [$ , et $g (1) = 0$ . Donc

$g (x) < 0 pour 0 < x < 1, g (1) = 0, g (x) > 0 pour x > 1.$

(Directement : pour $x > 1$ , $g (x) = \int_{1}^{x} u > 0$ , intégrale sur un segment non trivial d'une fonction continue strictement positive ; pour $x < 1$ , $g (x) = - \int_{x}^{1} u < 0$ .)

10. Comparer $g$ à $ln$ , primitive de $1/ t$ nulle en $1$ . Pour $x \in] 0, 1]$ ,

$g (x) - ln x = \int_{1}^{x} (\frac{1}{t f ( t ) ^{2}} - \frac{1}{t}) d t = - \int_{x}^{1} k (t) d t, o u ˋ k (t) = \frac{1 - f ( t ) ^{2}}{t f ( t ) ^{2}} .$

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