Corrigé e3a 2025 Maths MPI — Exercice 1 (1 à 6) : Extrema de Σ e^{x_j} : aucun extremum libre, minimum n sur l'hyperplan Σ x_j = 0

1. $f$ est une somme de fonctions de classe ${\mathcal{C}}^{\infty }$ sur ${\mathbb{R}}^n$ (chaque $m\mapsto {\mathrm{e}}^{x_j}$ est la composée de la projection linéaire $m\mapsto x_j$ et de l'exponentielle) : $f$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur ${\mathbb{R}}^n$, avec

$$\frac{\partial f}{\partial x_j}(m)={\mathrm{e}}^{x_j}(1\le j\le n),\text{donc}\nabla f(m)=({\mathrm{e}}^{x_1},\dots ,{\mathrm{e}}^{x_n}).$$

Toutes ces dérivées partielles sont strictement positives : $\nabla f(m)\ne 0$ pour tout $m$, et $f$ n'a aucun point critique.

Or, d'après la condition nécessaire du premier ordre, si une fonction différentiable sur un ouvert admet un extremum local en un point, ce point est critique. ${\mathbb{R}}^n$ est ouvert ; donc $f$ n'admet aucun extremum local (a fortiori aucun extremum global).

Ce que le correcteur attend : le mot « ouvert ». La condition nécessaire ne vaut qu'en un point intérieur du domaine ; c'est précisément ce qui changera à la question 4, où $H$ n'est pas ouvert.

2. Non. Pour $t\in \mathbb{R}$, $f(t,0,\dots ,0)={\mathrm{e}}^t+(n-1)\underset{t\to +\infty }{\to }+\infty$ : $f$ n'est pas majorée sur ${\mathbb{R}}^n$.