e3a 2025 — Maths MPI : sujet et corrigé

6 parties corrigées, avec un corrigé rédigé · filière MPI.

• Exercice 1 (1 à 6) — Extrema de Σ e^{x_j} : aucun extremum libre, minimum n sur l'hyperplan Σ x_j = 0
• Exercice 2 (1 à 9) — Division euclidienne par Xⁿ − X, l'endomorphisme P ↦ reste de AP par B et sa matrice
• Exercice 2 (10 à 14) — Rang n − 1, noyau Vect(X + … + X^{n−1}), image (X − 1)C_{n−2}[X], supplémentaires
• Exercice 2 (15 à 23) — Vecteurs propres B/(X − z_j), valeurs propres z_j − 1, χ_f = B(X + 1), déterminant de l'induit
• Exercice 3 (1 à 11) — Points entiers d'un quart de disque : sommes de Riemann et G(x) ∼ πx²/4
• Exercice 3 (12 à 15) — Série lacunaire Σ t^{k²}, produit de Cauchy et équivalent de h(t)²/(1 − t) en 1⁻