Corrigé e3a 2025 Maths MPI — Exercice 2 (1 à 9) : Division euclidienne par Xⁿ − X, l'endomorphisme P ↦ reste de AP par B et sa matrice

Sujet officiel du concours e3a, session 2025, épreuve Maths MPI. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

$n \geq 3$ est un entier, $E = C_{n - 1} [X]$ , $A = X^{n} - 1$ et $B = X^{n} - X$ .

1. Énoncer le théorème de la division euclidienne dans $C [X]$ .
2. Quotient et reste de la division euclidienne de $A$ par $B$ .
3. PGCD de $A$ et $B$ .
4. Décomposer $A$ et $B$ en produits d'irréductibles de $C [X]$ . Les $n$ racines distinctes de $B$ sont notées $z_{1}, \dots, z_{n - 1}, z_{n}$ , avec $z_{n} = 0$ .
Pour $P \in E$ , $f (P)$ est le reste de la division euclidienne de $A P$ par $B$ .
5. Prouver que $f$ est un endomorphisme de $E$ .
6. Pour $k \in [[0, n - 2]]$ , calculer $f (X^{k})$ en posant la division.
7. Calculer de même $f (X^{n - 1})$ .
8. En déduire la matrice $M$ de $f$ dans la base canonique $(1, X, \dots, X^{n - 1})$ .
9. Calculer la trace de $M$ .

Corrigé

1. Théorème de la division euclidienne. Soient $K$ un corps ( $K = R$ ou $C$ ), $P \in K [X]$ et $D \in K [X]$ non nul. Il existe un unique couple $(Q, R) \in K [X]^{2}$ tel que

$P = D Q + R et de g R < de g D .$

$Q$ est le quotient, $R$ le reste (avec la convention $de g 0 = - \infty$ ).

Ce que le correcteur attend : les trois éléments — $D \neq = 0$ , existence et unicité, condition $de g R < de g D$ . C'est l'unicité qui rendra $f$ bien définie et linéaire à la question 5.

2. On écrit $A = X^{n} - 1 = (X^{n} - X) + (X - 1) = B \cdot 1 + (X - 1)$ , et $de g (X - 1) = 1 < n = de g B$ . Par unicité de la division euclidienne :

$quotient Q = 1, reste R = X - 1.$

3. L'algorithme d'Euclide repose sur $PGCD (A, B) = PGCD (B, R)$ quand $A = B Q + R$ (les diviseurs communs de $A$ et $B$ sont ceux de $B$ et $R = A - B Q$ ). Donc $PGCD (A, B) = PGCD (B, X - 1)$ . Or $B (1) = 1 - 1 = 0$ , donc $X - 1$ divise $B$ ; le PGCD de $B$ et de $X - 1$ est alors $X - 1$ , qui est unitaire. Ainsi

$PGCD (A, B) = X - 1.$

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