Corrigé e3a 2025 Maths MPI — Exercice 3 (12 à 15) : Série lacunaire Σ t^{k²}, produit de Cauchy et équivalent de h(t)²/(1 − t) en 1⁻

Sujet officiel du concours e3a, session 2025, épreuve Maths MPI. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Notations de la partie précédente : $G (x)$ est le nombre de couples $(a, b) \in N^{2}$ tels que $a^{2} + b^{2} \leq x$ , et l'on a montré $G (x) \sim \frac{π}{4} x^{2}$ quand $x \to + \infty$ (question 11).

12. $a_{n}$ vaut $1$ si $n$ est le carré d'un entier et $0$ sinon. Rayon de convergence $R$ de $\sum_{n \geq 0} a_{n} t^{n}$ ; on note $h$ sa somme.
13. Pour $t \in I =] - 1, 1 [$ , on pose $g (t) = \frac{h ( t ) ^{2}}{1 - t}$ . Prouver que $g (t) = \sum_{n = 0}^{+ \infty} G (n) t^{n}$ .
14. Montrer que pour tout $ε > 0$ , il existe $n_{0} \in N^{*}$ tel que, pour $n \geq n_{0}$ , $G (n) - \frac{π}{4} (n + 1) \leq ε (n + 1)$ .
15. En majorant $g (t) - \frac{π}{4} \sum_{n = 0}^{+ \infty} (n + 1) t^{n}$ , montrer que $g (t) \sim \frac{π}{4} (1 - t)^{- 2}$ quand $t \to 1^{-}$ .

Corrigé

12. $R \geq 1$ . Pour tout $n$ , $∣ a_{n} ∣ \leq 1$ : la suite $(a_{n} \cdot 1^{n})$ est bornée, donc (lemme d'Abel, ou comparaison à la série géométrique $\sum ∣ t ∣^{n}$ ) la série $\sum a_{n} t^{n}$ converge absolument pour $∣ t ∣ < 1$ . Ainsi $R \geq 1$ .

$R \leq 1$ . En $t = 1$ , le terme général $a_{n}$ ne tend pas vers $0$ : $a_{k^{2}} = 1$ pour tout $k \in N$ . La série $\sum a_{n}$ diverge grossièrement ; or une série entière converge (absolument) en tout point de module $< R$ , donc $1 \geq R$ .

Finalement $R = 1$ , et pour $t \in] - 1, 1 [$ , en ne gardant que les termes non nuls (les indices $n = k^{2}$ , $k \in N$ , deux à deux distincts) :

$h (t) = k = 0 \sum + \infty t^{k^{2}} = 1 + t + t^{4} + t^{9} + \dots$

(l'entier $0 = 0^{2}$ est un carré, donc $a_{0} = 1$ ).

Ce que le correcteur attend : la règle de d'Alembert est inapplicable (une infinité de $a_{n}$ sont nuls) ; on revient à la définition du rayon.

13. Le carré de $h$ . Pour $t \in I$ , la série $\sum a_{n} t^{n}$ converge absolument (question 12). Par le produit de Cauchy de deux séries absolument convergentes (question 3), $h (t)^{2} = \sum_{n = 0}^{+ \infty} c_{n} t^{n}$ , avec

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