Corrigé e3a 2025 Maths MPI — Exercice 3 (1 à 11) : Points entiers d'un quart de disque : sommes de Riemann et G(x) ∼ πx²/4

Sujet officiel du concours e3a, session 2025, épreuve Maths MPI. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

1. Développer $t \mapsto \frac{1}{1 - t}$ en série entière ; domaine de validité.
2. Rayon de convergence et somme de $\sum_{n \geq 0} (n + 1) t^{n}$ .
3. Pour deux séries entières $\sum a_{n} t^{n}$ et $\sum b_{n} t^{n}$ , choisir parmi quatre propositions l'expression du coefficient $c_{n}$ de leur produit de Cauchy.
4. Pour $f$ continue sur $[a, b]$ , rappeler la limite de $\frac{b - a}{n} \sum_{k = 0}^{n - 1} f (a + k \frac{b - a}{n})$ .
Pour $x \geq 0$ , $E_{x} = {(a, b) \in N^{2} : a^{2} + b^{2} \leq x}$ (points à coordonnées entières positives du quart de disque fermé de rayon $x$ ) et $G (x) = Card (E_{x})$ ; $⌊ t ⌋$ est la partie entière de $t$ .
5. Représenter $E_{2}$ et calculer $G (2)$ .
6. Calculer $J = \int_{0}^{1} (1 - t^{2})^{1/2} d t$ en posant $t = sin u$ .
7. Montrer que $G (n) = \sum_{k = 0}^{n} (⌊ n^{2} - k^{2} ⌋ + 1)$ pour $n \in N^{*}$ .
8. Prouver que $\frac{1}{n} \sum_{k = 0}^{n - 1} (1 - \frac{k ^{2}}{n ^{2}})^{1/2} \to \frac{π}{4}$ .
9. Avec $S_{n} = \sum_{k = 0}^{n - 1} n^{2} - k^{2}$ , montrer que $S_{n} \sim \frac{π}{4} n^{2}$ .
10. En déduire un équivalent de $G (n)$ quand $n \to + \infty$ .
11. En déduire un équivalent de $G (x)$ quand le réel $x \to + \infty$ .

Corrigé

1. Pour $t \in R$ , $t \neq = 1$ , et $N \in N$ : $\sum_{n = 0}^{N} t^{n} = \frac{1 - t ^{N + 1}}{1 - t}$ . Si $∣ t ∣ < 1$ , $t^{N + 1} \to 0$ , d'où

$\forall t \in] - 1, 1 [, \frac{1}{1 - t} = n = 0 \sum + \infty t^{n} .$

Si $∣ t ∣ \geq 1$ , le terme général $t^{n}$ ne tend pas vers $0$ : la série diverge grossièrement. Le rayon de convergence vaut $1$ et le domaine de validité est exactement $] - 1, 1 [$ .

2. Rayon. Pour $t \neq = 0$ , $\frac{( n + 2 ) t ^{n + 1}}{( n + 1 ) t ^{n}} = \frac{n + 2}{n + 1} ∣ t ∣ \to ∣ t ∣$ . Par la règle de d'Alembert, la série converge absolument si $∣ t ∣ < 1$ et diverge grossièrement si $∣ t ∣ > 1$ : le rayon est $R = 1$ .

Somme. La somme d'une série entière de rayon $R > 0$ est de classe $C^{1}$ sur $] - R, R [$ et se dérive terme à terme, la série dérivée ayant le même rayon. En dérivant la relation de la question 1 sur $] - 1, 1 [$ :

$\forall t \in] - 1, 1 [, \frac{1}{( 1 - t ) ^{2}} = n = 1 \sum + \infty n t^{n - 1} = n = 0 \sum + \infty (n + 1) t^{n} .$

(On peut aussi voir $\sum (n + 1) t^{n}$ comme le produit de Cauchy de $\sum t^{n}$ par elle-même : $\sum_{p + q = n} 1 \cdot 1 = n + 1$ .)

3. Réponse (d) : $c_{n} = \sum_{p + q = n} a_{p} b_{q} = \sum_{p = 0}^{n} a_{p} b_{n - p}$ . (Pour $∣ t ∣ < R$ , les deux séries convergent absolument, leur produit de Cauchy converge et sa somme est le produit des sommes.)

4. C'est le théorème des sommes de Riemann : pour $f$ continue sur le segment $[a, b]$ ,

$n \to + \infty lim \frac{b - a}{n} k = 0 \sum n - 1 f (a + k \frac{b - a}{n}) = \int_{a}^{b} f (t) d t .$

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