Corrigé e3a 2025 Maths MPI — Exercice 2 (15 à 23) : Vecteurs propres B/(X − z_j), valeurs propres z_j − 1, χ_f = B(X + 1), déterminant de l'induit

Sujet officiel du concours e3a, session 2025, épreuve Maths MPI. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Notations des parties précédentes : $n \geq 3$ , $E = C_{n - 1} [X]$ , $A = X^{n} - 1$ , $B = X^{n} - X$ ; $f (P)$ est le reste de la division de $A P$ par $B$ ; $z_{1}, \dots, z_{n}$ sont les racines distinctes de $B$ , avec $z_{n} = 0$ . Pour $j \in [[1, n]]$ , on pose $P_{j} = \frac{B}{X - z _{j}} = \prod_{k \neq = j} (X - z_{k})$ et $R_{j} = f (P_{j})$ .

15. Vérifier que $P_{j} (z_{j}) \neq = 0$ .
16. Montrer que les racines de $P_{j}$ sont racines de $R_{j}$ .
17. En déduire un scalaire $λ_{j}$ tel que $R_{j} = λ_{j} P_{j}$ ; que dire de $P_{j}$ ?
18. Montrer que $A (z_{j}) = λ_{j}$ .
19. Exprimer $λ_{j}$ à l'aide de $z_{j}$ ; préciser $λ_{n}$ .
20. $f$ est-il diagonalisable ?
21. Retrouver la trace de $f$ .
22. Polynôme caractéristique $χ_{f}$ sous forme développée.
23. En déduire le déterminant de l'endomorphisme induit par $f$ sur $Im f$ .

Corrigé

Rappel de la question 4 : $z_{1}, \dots, z_{n - 1}$ sont les racines $(n - 1)$ -ièmes de l'unité, numérotées de sorte que $z_{1} = 1$ , et $z_{n} = 0$ . Comme $B (z_{j}) = 0$ , on a $z_{j}^{n} = z_{j}$ pour tout $j$ . On note $A P_{j} = B S_{j} + R_{j}$ la division euclidienne de $A P_{j}$ par $B$ . Enfin, $P_{j}$ est unitaire de degré $n - 1$ : $P_{j} \in E$ et $P_{j} \neq = 0$ .

15. $P_{j} (z_{j}) = \prod_{k \neq = j} (z_{j} - z_{k})$ est un produit de $n - 1$ facteurs tous non nuls, puisque les racines $z_{1}, \dots, z_{n}$ sont deux à deux distinctes. Donc $P_{j} (z_{j}) \neq = 0$ .

16. Les racines de $P_{j}$ sont les $z_{k}$ , $k \neq = j$ . Pour un tel $k$ , en évaluant $A P_{j} = B S_{j} + R_{j}$ en $z_{k}$ :

$R_{j} (z_{k}) = A (z_{k}) P_{j} (z_{k}) - B (z_{k}) S_{j} (z_{k}) = A (z_{k}) \cdot 0 - 0 \cdot S_{j} (z_{k}) = 0.$

Toute racine de $P_{j}$ est donc racine de $R_{j}$ .

17. $R_{j}$ admet les $n - 1$ racines distinctes $z_{k}$ ( $k \neq = j$ ). Les polynômes $X - z_{k}$ sont irréductibles et deux à deux premiers entre eux, chacun divise $R_{j}$ : leur produit $P_{j}$ divise $R_{j}$ . Il existe donc $T \in C [X]$ tel que $R_{j} = T P_{j}$ . Si $R_{j} \neq = 0$ , alors $de g T = de g R_{j} - de g P_{j} \leq (n - 1) - (n - 1) = 0$ , donc $T$ est une constante ; si $R_{j} = 0$ , on prend $T = 0$ . Dans les deux cas, il existe $λ_{j} \in C$ tel que

$f (P_{j}) = R_{j} = λ_{j} P_{j} .$

Comme $P_{j} \neq = 0$ , $P_{j}$ est un vecteur propre de $f$ , associé à la valeur propre $λ_{j}$ .

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