Corrigé e3a 2025 Maths MPI — Exercice 2 (10 à 14) : Rang n − 1, noyau Vect(X + … + X^{n−1}), image (X − 1)C_{n−2}[X], supplémentaires

Pour $0\le k\le n-2$, notons $Q_k=f(X^k)=X^{k+1}-X^k=(X-1)X^k$ (question 6).

10. Le rang de $M$ est celui de la famille de ses colonnes, c'est-à-dire de la famille $(f(1),f(X),\dots ,f(X^{n-1}))=(Q_0,\dots ,Q_{n-2},X-X^{n-1})$.

Minoration. La famille $(Q_0,\dots ,Q_{n-2})$ est libre : $\mathrm{deg}{Q}_k=k+1$, et une famille de polynômes non nuls de degrés deux à deux distincts est libre (échelonnement en degré : si ${\sum }_k{\alpha }_k{Q}_k=0$ avec des ${\alpha }_k$ non tous nuls, et si $k_0$ est le plus grand indice tel que ${\alpha }_{k_0}\ne 0$, le coefficient de $X^{k_0+1}$ dans cette somme vaut ${\alpha }_{k_0}\ne 0$, contradiction). Donc $\mathrm{rg}M\ge n-1$.

Majoration. Par télescopage,

$$\sum _{k=1}^{n-2}{Q}_k=\sum _{k=1}^{n-2}(X^{k+1}-X^k)=X^{n-1}-X,$$

donc

$$f(X^{n-1})=X-X^{n-1}=-\sum _{k=1}^{n-2}{Q}_k.$$