Corrigé e3a 2025 Maths PC — Exercice 1 (1 à 4.4) : Extrema de x³ + y² sur un disque fermé : point critique dégénéré, bornes atteintes et paramétrage du bord

1. $\phi$ est polynomiale, donc dérivable sur $\mathbb{R}$, et

$${\phi }^{\prime }(t)=6t^2-2t=2t(3t-1).$$

Ce trinôme a pour racines $0$ et $\frac{1}{3}$ et un coefficient dominant positif : ${\phi }^{\prime }(t)>0$ sur $[-1,0[$ et sur $]\frac{1}{3},1]$, ${\phi }^{\prime }(t)<0$ sur $]0,\frac{1}{3}[$. Les valeurs utiles sont

$$\phi (-1)=-2-1+1=-2,\phi (0)=1,$$

$$\phi \left(\frac{1}{3}\right)=\frac{2}{27}-\frac{3}{27}+\frac{27}{27}=\frac{26}{27},\phi (1)=2-1+1=2.$$

D'où le tableau de variations :

$$\begin{array}{cccccccc}t& -1& & 0& & \frac{1}{3}& & 1\\ {\phi }^{\prime }(t)& & +& 0& -& 0& +& \\ \phi (t)& -2& \nearrow & 1& \searrow & \frac{26}{27}& \nearrow & 2\end{array}$$

Ainsi $\phi$ est strictement croissante sur $[-1,0]$, strictement décroissante sur $[0,\frac{1}{3}]$, strictement croissante sur $[\frac{1}{3},1]$ ; elle présente un maximum local $1$ en $0$ et un minimum local $\frac{26}{27}$ en $\frac{1}{3}$, deux points où la tangente est horizontale. Comme ${\phi }^{\prime \prime }(t)=12t-2$ change de signe en $\frac{1}{6}$, la courbe a un point d'inflexion d'abscisse $\frac{1}{6}$ (d'ordonnée $\frac{53}{54}$). Enfin $\phi$ s'annule une seule fois sur $[-1,1]$, en un point $t_0\in ]-1,0[$ (théorème de la bijection : $\phi$ est continue et strictement croissante sur $[-1,0]$ avec $\phi (-1)<0<\phi (0)$, et $\phi \ge \frac{26}{27}>0$ sur $[0,1]$) ; on a $t_0\approx -0,66$.

L'écart entre le maximum local $1$ et le minimum local $\frac{26}{27}$ n'est que de $\frac{1}{27}$ : sur la figure, le creux entre $0$ et $\frac{1}{3}$ est à peine visible, mais il existe.