Corrigé e3a 2025 Maths PC — Exercice 2 (1 à 3.6) : Solution développable en série entière de x²y'' + xy' − (x² + x + 1)y = 0 : f(x) = eˣ − sh(x)/x

Sujet officiel du concours e3a, session 2025, épreuve Maths PC. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

On étudie l'équation $(E)$ : $x^{2} y^{''} (x) + x y^{'} (x) - (x^{2} + x + 1) y (x) = 0$ pour tout $x$ réel, d'inconnue $y$ de classe $C^{2}$ sur $R$ .

1. Pour $y$ solution de $(E)$ , calculer $y (0)$ .
2. On cherche une solution $f$ de $(E)$ , avec $f^{'} (0) = 1$ , somme d'une série entière $\sum a_{n} x^{n}$ sur $] - R, R [$ , $R > 0$ .
2.1. Montrer que $a_{0} = 0$ , $a_{1} = 1$ et $(n^{2} - 1) a_{n} - a_{n - 1} - a_{n - 2} = 0$ pour $n \geq 2$ .
2.2. Montrer par récurrence que $∣ a_{n} ∣ \leq \frac{1}{( n - 1 )!}$ pour $n \geq 1$ .
2.3. Justifier que $f$ est définie sur $R$ .
3. Pour $y$ solution de $(E)$ sur $R$ , on pose $z (x) = x y (x) e^{x}$ .
3.1. Calculer $z (0)$ et $z^{'} (0)$ .
3.2. Prouver que $z^{'}$ est solution sur $R$ de $(F)$ : $x u^{'} (x) - (2 x + 1) u (x) = 0$ .
3.3.1. Résoudre $u^{'} - (2 + \frac{1}{x}) u = 0$ sur $R_{+}^{*}$ .
3.3.2. Justifier que ces solutions se prolongent par continuité en $0$ .
3.4. Montrer que $x \mapsto c x e^{2 x}$ est solution de $(F)$ sur $R$ pour tout réel $c$ ; on admet que ce sont les seules.
3.5. Montrer qu'il existe un réel $a$ tel que $z (x) = a (2 x - 1) e^{2 x} + a$ pour tout $x$ réel.
3.6. Exprimer $f$ à l'aide des fonctions usuelles.

Corrigé

1. L'égalité $(E)$ est vraie pour tout réel $x$ , en particulier pour $x = 0$ , où elle se réduit à

$0 \cdot y^{''} (0) + 0 \cdot y^{'} (0) - (0 + 0 + 1) y (0) = 0, soit y (0) = 0.$

2.1. Les conditions initiales. D'après 1, $f (0) = 0$ ; or la somme d'une série entière vaut son coefficient constant en $0$ , donc $a_{0} = f (0) = 0$ . La somme d'une série entière de rayon $R > 0$ est dérivable sur $] - R, R [$ , et sa dérivée s'obtient terme à terme ; en particulier $f^{'} (0) = a_{1}$ , d'où $a_{1} = 1$ .

La relation de récurrence. Par dérivation terme à terme (deux fois) sur $] - R, R [$ :

$f^{'} (x) = n \geq 1 \sum n a_{n} x^{n - 1}, f^{''} (x) = n \geq 2 \sum n (n - 1) a_{n} x^{n - 2} .$

Donc, pour $∣ x ∣ < R$ , en ajoutant les termes nuls d'indices $n = 0$ ou $1$ et en réindexant :

$x^{2} f^{''} (x) = n \geq 0 \sum n (n - 1) a_{n} x^{n}, x f^{'} (x) = n \geq 0 \sum n a_{n} x^{n},$

$x^{2} f (x) = n \geq 2 \sum a_{n - 2} x^{n}, x f (x) = n \geq 1 \sum a_{n - 1} x^{n}, f (x) = n \geq 0 \sum a_{n} x^{n} .$

Comme $n (n - 1) + n - 1 = n^{2} - 1$ , il vient, pour tout $x \in] - R, R [$ ,

$0 = x^{2} f^{''} (x) + x f^{'} (x) - (x^{2} + x + 1) f (x) = - a_{0} - a_{0} x + n \geq 2 \sum ((n^{2} - 1) a_{n} - a_{n - 1} - a_{n - 2}) x^{n} .$

Cette série entière, de rayon au moins $R > 0$ , a une somme nulle sur $] - R, R [$ : par unicité des coefficients d'une série entière, tous ses coefficients sont nuls. On retrouve $a_{0} = 0$ et on obtient

$\forall n \geq 2, (n^{2} - 1) a_{n} - a_{n - 1} - a_{n - 2} = 0.$

Comme $n^{2} - 1 \neq = 0$ pour $n \geq 2$ , la suite $(a_{n})$ est entièrement déterminée par $a_{0} = 0$ , $a_{1} = 1$ et $a_{n} = \frac{a _{n - 1} + a _{n - 2}}{n ^{2} - 1}$ .

2.2. Montrons par récurrence double la propriété $P (n)$ : $∣ a_{n} ∣ \leq \frac{1}{( n - 1 )!}$ , pour $n \geq 1$ .

Initialisation ( $n = 1$ et $n = 2$ ). $∣ a_{1} ∣ = 1 = \frac{1}{0 !}$ ; et la relation de 2.1 pour $n = 2$ donne $3 a_{2} = a_{1} + a_{0} = 1$ , donc $∣ a_{2} ∣ = \frac{1}{3} \leq 1 = \frac{1}{1 !}$ .

Hérédité. Soit $n \geq 3$ tel que $P (n - 1)$ et $P (n - 2)$ soient vraies (on a bien $n - 2 \geq 1$ ). Par 2.1 et l'inégalité triangulaire,

$(n^{2} - 1) ∣ a_{n} ∣ \leq ∣ a_{n - 1} ∣ + ∣ a_{n - 2} ∣ \leq \frac{1}{( n - 2 )!} + \frac{1}{( n - 3 )!} .$

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