Corrigé e3a 2025 Maths PC — Exercice 4 (1 à 5.6) : Deux lois géométriques sur ℕ indépendantes : loi de la somme, du minimum et de l'écart, indépendance de min et écart

Sujet officiel du concours e3a, session 2025, épreuve Maths PC. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

1. Rappeler la loi, l'espérance et la variance d'une variable $Z$ de loi géométrique de paramètre $p$ .
2. Rappeler la définition de l'indépendance de deux variables aléatoires discrètes $X_{1}$ et $X_{2}$ .

Dans la suite, $X$ et $Y$ sont indépendantes, à valeurs dans $N$ , avec $P (X = k) = P (Y = k) = p q^{k}$ pour tout $k \in N$ , où $p \in] 0, 1 [$ et $q = 1 - p$ .

3. Montrer que $P (X \geq k) = q^{k}$ pour $k \in N$ .
4.1. Ensemble des valeurs de $X + Y$ .
4.2. Loi de $X + Y$ .
4.3.1. Pour des entiers $k > n$ , calculer $P_{(X + Y = n)} (X = k)$ .
4.3.2. Pour $k \leq n$ , montrer que $P_{(X + Y = n)} (X = k) = r_{n}$ , un réel ne dépendant que de $n$ .
5. On pose $V = Y - X$ et $M = min (X, Y)$ .
5.1. Ensembles des valeurs de $V$ et de $M$ .
5.2. Calculer $P (M \geq k)$ pour $k \in N$ .
5.3. En déduire la loi de $M$ .
5.4. Pour $k \in N$ et $r \in Z$ , calculer $P ((M = k) \cap (V = r))$ (distinguer $r < 0$ et $r \geq 0$ ).
5.5. En déduire la loi de $V$ .
5.6. Étudier l'indépendance de $M$ et $V$ .

Corrigé

1. $Z \sim G (p)$ , avec $p \in] 0, 1 [$ , modélise le rang du premier succès dans une suite d'épreuves de Bernoulli indépendantes de paramètre $p$ :

$Z (Ω) = N^{*}, \forall k \in N^{*}, P (Z = k) = p (1 - p)^{k - 1},$

$E (Z) = \frac{1}{p}, V (Z) = \frac{1 - p}{p ^{2}} .$

Attention : les variables $X$ et $Y$ de la suite ne suivent pas cette loi (elles prennent la valeur $0$ ) ; ce sont $X + 1$ et $Y + 1$ qui suivent la loi $G (p)$ , puisque $P (X + 1 = k) = p q^{k - 1}$ pour $k \geq 1$ .

2. $X_{1}$ et $X_{2}$ sont indépendantes si et seulement si

$\forall x \in X_{1} (Ω), \forall y \in X_{2} (Ω), P ((X_{1} = x) \cap (X_{2} = y)) = P (X_{1} = x) P (X_{2} = y),$

ce qui équivaut à : pour toutes parties $A \subset X_{1} (Ω)$ et $B \subset X_{2} (Ω)$ , les événements $(X_{1} \in A)$ et $(X_{2} \in B)$ sont indépendants.

Ce que le correcteur attend : une égalité entre probabilités d'événements ; écrire « $P (X_{1} \cap X_{2}) = P (X_{1}) P (X_{2})$ » n'a pas de sens, $X_{1}$ et $X_{2}$ n'étant pas des événements.

3. Soit $k \in N$ . L'événement $(X \geq k)$ est la réunion des événements deux à deux incompatibles $(X = j)$ , $j \geq k$ . Par $σ$ -additivité, puis somme d'une série géométrique de raison $q \in] 0, 1 [$ :

$P (X \geq k) = j = k \sum + \infty p q^{j} = p q^{k} i = 0 \sum + \infty q^{i} = \frac{p q ^{k}}{1 - q} = q^{k},$

car $1 - q = p$ . Il en est de même pour $Y$ , qui a la même loi.

4.1. $X$ et $Y$ sont à valeurs dans $N$ , donc $X + Y$ est à valeurs dans $N$ ; on verra en 4.2 que chaque entier $n$ est pris avec une probabilité strictement positive.

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