Corrigé e3a 2025 Maths PSI — Exercice 1 (1 à 5) : Série de fonctions exponentielles : double limite et intégration terme à terme

Sujet officiel du concours e3a, session 2025, épreuve Maths PSI. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Pour $n \in N^{*}$ et $x \in R$ , on pose $u_{n} (x) = e^{- x n}$ .

1. Déterminer l'ensemble $D$ des réels $x$ pour lesquels $\sum_{n ⩾ 1} u_{n} (x)$ converge. On note $f (x) = \sum_{n = 1}^{+ \infty} u_{n} (x)$ pour $x \in D$ .
2. Montrer, sans dériver, que $f$ est décroissante sur $D$ .
3. Montrer que $\sum u_{n}$ converge normalement sur $[1, + \infty [$ .
4. En déduire la limite de $f$ en $+ \infty$ .
5. Montrer que $J = \int_{1}^{+ \infty} f (t) d t$ converge et que $J = \sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{e ^{- n}}{n}$ , en citant précisément les théorèmes et en vérifiant leurs hypothèses.

Corrigé

1. On distingue selon le signe de $x$ .

Si $x ⩽ 0$ , alors $- x n ⩾ 0$ pour tout $n \in N^{*}$ , donc $u_{n} (x) = e^{- x n} ⩾ 1$ : le terme général ne tend pas vers $0$ , la série $\sum u_{n} (x)$ diverge grossièrement.
Si $x > 0$ , les termes sont strictement positifs et

$n^{2} u_{n} (x) = (n)^{4} e^{- x n} n \to + \infty 0,$

par croissance comparée ( $X^{4} e^{- x X} \to 0$ quand $X = n \to + \infty$ , puisque $x > 0$ ). Donc $u_{n} (x) = o (\frac{1}{n ^{2}})$ . La série de Riemann $\sum \frac{1}{n ^{2}}$ converge ( $2 > 1$ ) ; par comparaison de séries à termes positifs, $\sum u_{n} (x)$ converge.

Conclusion : $D =] 0, + \infty [$ .

Ce que le correcteur attend : « $u_{n} (x) \to 0$ donc la série converge » est faux (condition nécessaire seulement) ; ce n'est ni une série géométrique ni une série de Riemann ; et le cas $x ⩽ 0$ doit être traité.

2. Soient $x, y \in D$ avec $x ⩽ y$ . Pour tout $n \in N^{*}$ , $n > 0$ donc $- x n ⩾ - y n$ , et par croissance de l'exponentielle $u_{n} (x) ⩾ u_{n} (y)$ . En sommant ces inégalités pour $n \in [[1, N]]$ , les sommes partielles vérifient

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