Corrigé e3a 2025 Maths PSI — Exercice 2 (1 à 3.3) : Diagonalisation de P ↦ P'' − 4XP' et polynômes de type Hermite

Sujet officiel du concours e3a, session 2025, épreuve Maths PSI. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

1. (Question de cours) Soit $u$ de classe $C^{1}$ sur $R$ , à valeurs réelles, qui ne s'annule pas. Donner une primitive de $x \mapsto \frac{u ^{'} ( x )}{u ( x )}$ .

Pour $n ⩾ 2$ , $E_{n} = R_{n} [X]$ , $P_{k} = X^{k}$ et $B = (P_{0}, \dots, P_{n})$ . Pour $P \in E_{n}$ , on pose $f (P) = P^{''} - 4 X P^{'}$ .

2.1. Justifier que $f$ est un endomorphisme de $E_{n}$ .
2.2. Déterminer la matrice $M$ de $f$ dans $B$ ; l'expliciter pour $n = 3$ .
2.3. Prouver que $f$ est diagonalisable ; dimension de ses sous-espaces propres ?
2.4. Si $P$ est vecteur propre associé à $λ$ , montrer que $λ = - 4 de g (P)$ .
2.5. En déduire que, pour tout $p \in [[0, n]]$ , il existe un unique polynôme unitaire $H_{p}$ de degré $p$ tel que $f (H_{p}) = - 4 p H_{p}$ .
3.1. Montrer que $f (H_{p}^{'}) = - 4 (p - 1) H_{p}^{'}$ pour $p \in [[1, n]]$ .
3.2. En déduire $H_{p}^{'} = p H_{p - 1}$ pour $p \in [[1, n]]$ , puis $H_{p} - X H_{p - 1} + \frac{p - 1}{4} H_{p - 2} = 0$ pour $p \in [[2, n]]$ .
3.3. Déterminer $H_{0}$ , $H_{1}$ , $H_{2}$ , $H_{3}$ .

Corrigé

1. La fonction $u$ est continue sur l'intervalle $R$ et ne s'y annule pas : par le théorème des valeurs intermédiaires, elle garde un signe constant. La fonction $x \mapsto ln ∣ u (x) ∣$ est donc de classe $C^{1}$ sur $R$ (composée de $u$ , à valeurs dans $R^{*}$ , et de $t \mapsto ln ∣ t ∣$ , dérivable sur $R^{*}$ de dérivée $\frac{1}{t}$ ), et par dérivation d'une composée

$(ln ∣ u ∣)^{'} (x) = \frac{u ^{'} ( x )}{u ( x )} .$

Une primitive de $\frac{u ^{'}}{u}$ sur $R$ est $x \mapsto ln ∣ u (x) ∣$ . (Si $u > 0$ , c'est $ln u$ ; si $u < 0$ , c'est $ln (- u)$ : la valeur absolue est indispensable, $ln u$ n'étant pas défini lorsque $u < 0$ .)

2.1. Linéarité. Pour $P, Q \in E_{n}$ et $α \in R$ , par linéarité de la dérivation,

$f (α P + Q) = α P^{''} + Q^{''} - 4 X (α P^{'} + Q^{'}) = α (P^{''} - 4 X P^{'}) + (Q^{''} - 4 X Q^{'}) = α f (P) + f (Q) .$

Stabilité. Soit $P \in E_{n}$ . Alors $P^{''}$ est nul ou de degré $de g P - 2 ⩽ n$ , et $X P^{'}$ est nul ou de degré $1 + (de g P - 1) = de g P ⩽ n$ . Donc $de g f (P) ⩽ max (de g P^{''}, de g (X P^{'})) ⩽ n$ : $f (P) \in E_{n}$ . Ainsi $f$ est une application linéaire de $E_{n}$ dans $E_{n}$ : $f \in L (E_{n})$ .

2.2. Pour $k \in [[0, n]]$ , $P_{k}^{'} = k X^{k - 1}$ et $P_{k}^{''} = k (k - 1) X^{k - 2}$ (termes nuls si $k ⩽ 1$ ), donc

$f (P_{0}) = 0, f (P_{1}) = - 4 P_{1}, f (P_{k}) = k (k - 1) P_{k - 2} - 4 k P_{k} (k ⩾ 2) .$

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