Corrigé e3a 2025 Maths PSI — Exercice 2 (4.1 à 4.5) : Points critiques d'une fonction de trois variables par les polynômes propres

Sujet officiel du concours e3a, session 2025, épreuve Maths PSI. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Notations de la première partie : $f (P) = P^{''} - 4 X P^{'}$ et $H_{p}$ unitaire de degré $p$ avec $f (H_{p}) = - 4 p H_{p}$ ; on a trouvé $H_{3} = X^{3} - \frac{3}{4} X$ . On pose $U = {(x, y, z) \in R^{3}; x \neq = y, y \neq = z, z \neq = x}$ et, sur $U$ , $G (x, y, z) = x^{2} + y^{2} + z^{2} - ln ∣ x - y ∣ - ln ∣ y - z ∣ - ln ∣ z - x ∣$ .

4.1. Établir que $m_{0} = (a, b, c) \in U$ est un point critique de $G$ si et seulement si $2 a (a - c) (a - b) = 2 a - b - c$ $(L_{1})$ , $2 b (b - a) (b - c) = 2 b - a - c$ $(L_{2})$ et $2 c (c - a) (c - b) = 2 c - a - b$ $(L_{3})$ ; on note $(S)$ ce système.
4.2. On note $Q = (X - a) (X - b) (X - c)$ . 4.2.1. Déterminer les coefficients de $Q$ . 4.2.2. Montrer que $(L_{1})$ équivaut à $f (Q) (a) = 0$ . (On admet ensuite : $(S)$ équivaut à « $a$ , $b$ , $c$ sont racines de $f (Q)$ ».)
4.3. Prouver que si $m_{0}$ est un point critique de $G$ , alors $f (Q) = - 12 Q$ .
4.4. Déterminer alors $Q$ . 4.5. En déduire les points critiques de $G$ .

Corrigé

Dans toute cette partie, $Q$ est de degré $3$ : on se place dans $E_{n}$ avec $n ⩾ 3$ (par exemple $n = 3$ ), ce qui ne change ni $f$ ni $H_{3}$ (remarque de la question 2.5).

4.1. L'ouvert et la régularité. Les applications $(x, y, z) \mapsto x - y$ , $y - z$ , $z - x$ sont continues et $U$ est l'intersection des images réciproques de l'ouvert $R^{*}$ par ces trois applications : $U$ est un ouvert de $R^{3}$ . Sur $U$ , chaque $ln ∣ x - y ∣$ est la composée d'une fonction polynomiale à valeurs dans $R^{*}$ et de $t \mapsto ln ∣ t ∣$ , de classe $C^{1}$ sur $R^{*}$ de dérivée $\frac{1}{t}$ (question 1). Donc $G$ est de classe $C^{1}$ sur $U$ , et ses dérivées partielles sont

$\frac{\partial G}{\partial x} = 2 x - \frac{1}{x - y} - \frac{1}{x - z}, \frac{\partial G}{\partial y} = 2 y - \frac{1}{y - x} - \frac{1}{y - z}, \frac{\partial G}{\partial z} = 2 z - \frac{1}{z - x} - \frac{1}{z - y} .$

(Par exemple, $\frac{\partial}{\partial x} (- ln ∣ z - x ∣) = - \frac{- 1}{z - x} = - \frac{1}{x - z}$ .)

Les points critiques. $m_{0} = (a, b, c) \in U$ est critique si et seulement si $\nabla G (m_{0}) = 0$ . Comme $(a - b) (a - c) \neq = 0$ , la première équation équivaut, après multiplication par $(a - b) (a - c)$ , à

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