Corrigé e3a 2025 Maths PSI — Exercice 3 (1 à 8) : La matrice J : puissances, noyau, image et diagonalisation

On note $(E_1,\dots ,E_n)$ la base canonique de ${\mathcal{M}}_{n,1}(\mathbb{R})$ et $U={}^t(1,1,\dots ,1)=E_1+\cdots +E_n$, de sorte que toutes les colonnes de $J$ sont égales à $U$.

1. Pour $i,j\in [[1,n]]$, $(J^2{)}_{i,j}={\sum }_{k=1}^n{J}_{i,k}{J}_{k,j}={\sum }_{k=1}^{n}1=n$. Donc

$$J^2=nJ.$$

2. Par convention $J^0=I_n$. Montrons par récurrence sur $\ell \in {\mathbb{N}}^{\ast }$ la propriété $J^{\ell }=n^{\ell -1}J$.

• Initialisation ($\ell =1$) : $J^1=J=n^{0}J$.
• Hérédité : si $J^{\ell }=n^{\ell -1}J$ pour un $\ell ⩾1$, alors, avec la question 1, $J^{\ell +1}=J^{\ell }J=n^{\ell -1}{J}^2=n^{\ell -1}\cdot nJ=n^{\ell }J$.

Conclusion : $J^0=I_n$ et $J^{\ell }=n^{\ell -1}J$ pour tout $\ell ⩾1$. (La formule ne vaut pas pour $\ell =0$ : $n^{-1}J\ne I_n$.)

3. L'image de $J$ est engendrée par ses colonnes, toutes égales à $U$ : $\mathrm{Im}(J)=\mathrm{Vect}(U)$. Comme $U\ne 0$, la famille $(U)$ est libre : c'est une base de $\mathrm{Im}(J)$, et $\mathrm{rg}(J)=\dim \mathrm{Im}(J)=1$.