Corrigé e3a 2025 Maths PSI — Exercice 3 (9 à 13.3) : Matrice (1−r)I + rJ : puissances, réduction et système différentiel

Sujet officiel du concours e3a, session 2025, épreuve Maths PSI. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Notations de la première partie : $J$ (tous coefficients égaux à $1$ ), $U =^{t} (1, \dots, 1)$ , $Sp (J) = {0, n}$ , $J = P D P^{- 1}$ avec $D = diag (0, \dots, 0, n)$ . Pour $r \in R^{*}$ , $M_{r} \in M_{n} (R)$ a des $1$ sur la diagonale et des $r$ partout ailleurs.

9. Justifier que $M_{r} \in Vect (I_{n}, J)$ .
10. Pour $k \in N$ , déterminer explicitement, sans symbole $\sum$ , des réels $α_{k}, β_{k}$ tels que $M_{r}^{k} = α_{k} I_{n} + β_{k} J$ .
11. Montrer que $M_{r}$ est diagonalisable dans $M_{n} (R)$ .
12. Déterminer une matrice diagonale $Δ_{r}$ semblable à $M_{r}$ .
13. On prend $n = 3$ . 13.1. Déterminer $P$ inversible telle que $Δ_{r} = P^{- 1} M_{r} P = diag (λ_{1}, λ_{2}, λ_{3})$ avec $λ_{1} = λ_{2}$ . 13.2. Résoudre $Y^{'} = Δ_{r} Y$ . 13.3. En déduire les solutions de $Z^{'} = M_{r} Z$ .

Corrigé

9. Les coefficients diagonaux de $(1 - r) I_{n} + r J$ valent $(1 - r) + r = 1$ , et ses coefficients hors diagonale valent $0 + r = r$ . Donc

$M_{r} = (1 - r) I_{n} + r J \in Vect (I_{n}, J) .$

10. Les matrices $(1 - r) I_{n}$ et $r J$ commutent (toute matrice commute avec $I_{n}$ ) : la formule du binôme de Newton s'applique. Avec la question 2 ( $J^{0} = I_{n}$ , $J^{i} = n^{i - 1} J$ pour $i ⩾ 1$ ) :

$M_{r}^{k} = i = 0 \sum k (i k) r^{i} (1 - r)^{k - i} J^{i} = (1 - r)^{k} I_{n} + (i = 1 \sum k (i k) r^{i} (1 - r)^{k - i} n^{i - 1}) J .$

On isole le terme $i = 0$ (qui porte $J^{0} = I_{n}$ ), puis on factorise $\frac{1}{n}$ et l'on complète la somme par ce terme :

$i = 1 \sum k (i k) (n r)^{i} (1 - r)^{k - i} = i = 0 \sum k (i k) (n r)^{i} (1 - r)^{k - i} - (1 - r)^{k} = (1 + (n - 1) r)^{k} - (1 - r)^{k}$

(binôme appliqué aux réels $n r$ et $1 - r$ ). Finalement, pour tout $k \in N$ ,

$α_{k} = (1 - r)^{k}, β_{k} = \frac{( 1 + ( n - 1 ) r ) ^{k} - ( 1 - r ) ^{k}}{n} .$

100 % gratuit

La suite du corrigé est sur Adloun

Le corrigé rédigé en entier, question par question, et le tuteur pour poser des questions sur ce sujet.

Voir le corrigé complet, gratuitement

Inscription gratuite en 30 secondes (e-mail, nom d'utilisateur, mot de passe, classe ou profil), sans carte bancaire : arrivée directe sur le corrigé.

Toutes les parties de l'épreuve

Corrigé complet gratuit →