Corrigé e3a 2026 Maths MP — Exercice 1 (1.1 à 3) : L'endomorphisme de translation P ↦ P(X+1) : matrice, réduction, nilpotence

Sujet officiel du concours e3a, session 2026, épreuve Maths MP. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

$n \geq 5$ est un entier ; $E = C_{n - 1} [X]$ ; on confond polynôme et fonction polynomiale. On pose $u (P) = Q$ où $Q (X) = P (X + 1)$ , et $B = (P_{0}, \dots, P_{n - 1})$ , $P_{j} = X^{j}$ , la base canonique. Pour $v \in L (E)$ , $v^{0} = Id$ et $v^{m} = v \circ v^{m - 1}$ .

1.1. Vérifier que $u$ est un endomorphisme de $E$ .
1.2. Exprimer $u (P_{j})$ dans la base $B$ , pour $j \in [[0, n - 1]]$ .
1.3. En déduire la matrice $M$ de $u$ dans $B$ (faire apparaître les deux premières colonnes et la $k$ -ième, $k \in [[3, n - 2]]$ ).
1.4. Déterminer le polynôme caractéristique $χ_{u}$ .
1.5. $u$ est-il diagonalisable ?
1.6. Justifier que $u$ est un automorphisme et préciser $u^{- 1}$ .
1.7. Déterminer $M^{- 1}$ .
1.8. Pour $k \in N$ , déterminer $u^{k}$ .
On note $Δ = u - Id$ .
2.1. Montrer que $Δ$ est nilpotent et que $Δ^{n} = 0$ .
2.2. $Δ$ est-il diagonalisable ?
3. Montrer qu'il existe des entiers relatifs $a_{0}, \dots, a_{n - 1}$ , à déterminer, tels que pour tout $P \in E$ , $P (X + n) + \sum_{k = 0}^{n - 1} a_{k} P (X + k) = 0$ .

Corrigé

1.1. $u$ est à valeurs dans $E$ . Si $P \in E$ , $P = \sum_{j = 0}^{n - 1} c_{j} X^{j}$ , alors $P (X + 1) = \sum_{j = 0}^{n - 1} c_{j} (X + 1)^{j}$ est une combinaison linéaire des polynômes $(X + 1)^{j}$ , qui sont de degré $j \leq n - 1$ : c'est un élément de $E$ . (Plus simplement : la composition par $X + 1$ , de degré $1$ , conserve le degré.)

$u$ est linéaire. Pour $P, R \in E$ et $λ, μ \in C$ , la composition à droite par $X + 1$ est compatible avec les opérations : $(λ P + μ R) (X + 1) = λ P (X + 1) + μ R (X + 1)$ , c'est-à-dire $u (λ P + μ R) = λ u (P) + μu (R)$ . Donc $u \in L (E)$ .

Ce que le correcteur attend : les deux points, linéarité et stabilité de $E$ (le degré n'augmente pas) ; « $u$ est un morphisme de groupes » ne suffit pas.

1.2. Pour $j \in [[0, n - 1]]$ , $u (P_{j}) = (X + 1)^{j}$ et, par la formule du binôme de Newton (dans l'anneau commutatif $C [X]$ ),

$u (P_{j}) = (X + 1)^{j} = i = 0 \sum j (i j) X^{i} = i = 0 \sum j (i j) P_{i} .$

La coordonnée de $u (P_{j})$ sur $P_{i}$ vaut donc $(i j)$ si $i \leq j$ et $0$ si $i > j$ .

1.3. La colonne de $M$ associée à $P_{j}$ contient les coordonnées de $u (P_{j})$ . En numérotant lignes et colonnes de $0$ à $n - 1$ comme les vecteurs de la base :

$M = ((i j))_{0 \leq i, j \leq n - 1}, avec la convention (i j) = 0 si i > j .$

$M$ est triangulaire supérieure à diagonale de $1$ (car $(j j) = 1$ ). En numérotant les colonnes de $1$ à $n$ , la $k$ -ième colonne est celle de $u (P_{k - 1}) = (X + 1)^{k - 1}$ :

$C_{1} = 100 ⋮ 0, C_{2} = 110 ⋮ 0, C_{k} = ((0 k - 1), (1 k - 1), \dots, (k - 1 k - 1), 0, \dots, 0)^{⊤}$

où $C_{k}$ ( $3 \leq k \leq n - 2$ ) se termine par $n - k$ zéros. (Si l'on préfère numéroter les colonnes de $0$ à $n - 1$ comme les vecteurs de $B$ , la colonne d'indice $k$ est celle de $u (P_{k}) = (X + 1)^{k}$ : $((0 k), (1 k), \dots, (k k), 0, \dots, 0)^{⊤}$ , suivie de $n - 1 - k$ zéros ; les deux lectures donnent la même matrice.) Ainsi

100 % gratuit

La suite du corrigé est sur Adloun

Le corrigé rédigé en entier, question par question, et le tuteur pour poser des questions sur ce sujet.

Voir le corrigé complet, gratuitement

Inscription gratuite en 30 secondes (e-mail, nom d'utilisateur, mot de passe, classe ou profil), sans carte bancaire : arrivée directe sur le corrigé.

Toutes les parties de l'épreuve

Corrigé complet gratuit →