Corrigé e3a 2026 Maths MP — Exercice 2 (1 à 7.4) : Intégrale de sin(at)/(e^t−1) : interversion série-intégrale et développement en série entière

Sujet officiel du concours e3a, session 2026, épreuve Maths MP. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

$a$ est un réel ; pour $s > 1$ , $ζ (s) = \sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{1}{n ^{s}}$ , et l'on admet $ζ (2) = \frac{π ^{2}}{6}$ . On pose $H (a) = \int_{0}^{+ \infty} \frac{sin ( a t )}{e ^{t} - 1} d t$ .

1. Justifier la convergence de la série de terme général $u_{n} = \frac{1}{n ^{2} + a ^{2}}$ .
2. Justifier l'existence de $H (a)$ .
3. Montrer que, pour tout $t > 0$ , $\frac{1}{e ^{t} - 1} = \sum_{k = 1}^{+ \infty} e^{- k t}$ .
4. Montrer que, pour tout $k \in N^{*}$ , $\int_{0}^{+ \infty} sin (a t) e^{- k t} d t = \frac{a}{a ^{2} + k ^{2}}$ .
5. Démontrer que $H (a) = a \sum_{k = 1}^{+ \infty} \frac{1}{a ^{2} + k ^{2}}$ (on pourra établir et utiliser $∣ sin x ∣ \leq ∣ x ∣$ ; théorème cité avec ses hypothèses).
6. Déterminer $lim_{a \to 0} \sum_{k = 1}^{+ \infty} \frac{1}{a ^{2} + k ^{2}}$ (même exigence).
7.1. Montrer que, pour $a \in] - 1, 1 [$ et $k \geq 1$ , $\frac{1}{a ^{2} + k ^{2}} = \frac{1}{k ^{2}} \sum_{n = 0}^{+ \infty} (- 1)^{n} (\frac{a}{k})^{2 n}$ .
7.2. En déduire que, pour $a \in] - 1, 1 [$ , $H (a) = \sum_{n = 0}^{+ \infty} (- 1)^{n} ζ (2 n + 2) a^{2 n + 1}$ .
7.3. Montrer que $H$ est de classe $C^{\infty}$ sur $] - 1, 1 [$ .
7.4. Déterminer $H^{(p)} (0)$ pour tout $p \in N$ .

Corrigé

1. La série est indexée par $n \geq 1$ . Pour tout $n \geq 1$ , $n^{2} + a^{2} \geq n^{2} > 0$ , donc

$0 < u_{n} = \frac{1}{n ^{2} + a ^{2}} \leq \frac{1}{n ^{2}} .$

La série de Riemann $\sum \frac{1}{n ^{2}}$ converge ( $2 > 1$ ). Par le théorème de comparaison des séries à termes positifs, $\sum u_{n}$ converge.

Ce que le correcteur attend : la positivité des termes (sans elle, la comparaison ne vaut rien) ; « $u_{n} \to 0$ » ne prouve pas la convergence.

2. Notons $f (t) = \frac{sin ( a t )}{e ^{t} - 1}$ ; $f$ est continue sur $] 0, + \infty [$ (quotient de fonctions continues, le dénominateur ne s'annulant pas pour $t > 0$ ). L'intégrale est impropre en ses deux bornes.

En $0$ : $sin (a t) t \to 0 = a t + o (t)$ et $e^{t} - 1 t \to 0 = t + o (t)$ , donc $f (t) t \to 0 a$ : $f$ se prolonge par continuité en $0$ , et l'intégrale est faussement impropre en $0$ (elle converge sur $] 0, 1]$ ).
En $+ \infty$ : pour $t \geq ln 2$ , $e^{t} - 1 \geq \frac{e ^{t}}{2}$ , d'où

$∣ f (t) ∣ \leq \frac{1}{e ^{t} - 1} \leq 2 e^{- t},$

et $t \mapsto e^{- t}$ est intégrable sur $[ln 2, + \infty [$ . Par le théorème de comparaison des fonctions positives, $∣ f ∣$ est intégrable sur $[ln 2, + \infty [$ : l'intégrale y converge absolument, donc converge.

Ainsi l'intégrale $H (a)$ existe (et $f$ est intégrable sur $] 0, + \infty [$ ). (Variante : avec $∣ sin x ∣ \leq ∣ x ∣$ , établie en question 5 sans utiliser la présente question, et $e^{t} - 1 \geq t$ , on a $∣ f (t) ∣ \leq ∣ a ∣ \frac{t}{e ^{t} - 1}$ , fonction bornée en $0$ et négligeable devant $\frac{1}{t ^{2}}$ en $+ \infty$ .)

Ce que le correcteur attend : la continuité sur l'intervalle, les deux bornes, et la valeur absolue en $+ \infty$ (convergence absolue) : la continuité seule ne prouve rien sur un intervalle ouvert non borné.

3. Soit $t > 0$ ; alors $q = e^{- t} \in] 0, 1 [$ et la série géométrique $\sum_{k \geq 1} q^{k}$ converge, de somme

$k = 1 \sum + \infty e^{- k t} = \frac{q}{1 - q} = \frac{e ^{- t}}{1 - e ^{- t}} = \frac{1}{e ^{t} - 1}$

(on a multiplié numérateur et dénominateur par $e^{t}$ ). La somme commence à $k = 1$ , d'où le numérateur $q$ et non $1$ .

4. Soit $k \in N^{*}$ . Pour $t \geq 0$ , $∣ sin (a t) e^{- k t} ∣ \leq e^{- k t}$ , intégrable sur $[0, + \infty [$ ( $k > 0$ ) : l'intégrale converge absolument. Comme $a$ est réel, $sin (a t) e^{- k t} = Im (e^{(i a - k) t})$ . Pour $A > 0$ , puisque $i a - k \neq = 0$ ,

$\int_{0}^{A} e^{(i a - k) t} d t = [\frac{e ^{(i a - k) t}}{i a - k}]_{0}^{A} = \frac{e ^{(i a - k) A} - 1}{i a - k},$

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