Corrigé e3a 2026 Maths MP — Exercice 2 (8 à 12) : L'intégrale de ln(t)/(t−1) sur ]0,1[ vaut ζ(2)

Sujet officiel du concours e3a, session 2026, épreuve Maths MP. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Notations de l'exercice 2 : $ζ (2) = \sum_{n \geq 1} \frac{1}{n ^{2}} = \frac{π ^{2}}{6}$ .

8. Montrer que l'intégrale $\int_{0}^{1} \frac{l n t}{t - 1} d t$ converge.
9. Montrer que, pour tout $p \in N$ , l'intégrale $I_{p} = \int_{0}^{1} t^{p} ln t d t$ converge.
10. Calculer $I_{p}$ pour $p \in N$ .
11. Prouver que $\int_{0}^{1} \frac{l n t}{t - 1} d t = \sum_{p = 1}^{+ \infty} \frac{1}{p ^{2}}$ (théorème cité avec ses hypothèses).
12. En déduire la valeur de $\int_{0}^{1} \frac{l n t}{t - 1} d t$ .

Corrigé

8. Posons $g (t) = \frac{ln t}{t - 1}$ pour $t \in] 0, 1 [$ ; $g$ est continue sur $] 0, 1 [$ et positive (quotient de deux nombres négatifs). L'intégrale est impropre en ses deux bornes.

En $1$ : $ln t = ln (1 + (t - 1)) \sim t - 1$ quand $t \to 1$ , donc $g (t) \to 1$ : $g$ se prolonge par continuité en $1$ , et l'intégrale est faussement impropre en $1$ .
En $0$ : $t - 1 \to - 1$ , donc $g (t) \sim - ln t = ∣ ln t ∣$ . Or $t ∣ ln t ∣ \to 0$ quand $t \to 0$ (croissances comparées), donc $∣ ln t ∣ = o (\frac{1}{t})$ , et $t \mapsto \frac{1}{t}$ est intégrable sur $] 0, \frac{1}{2}]$ (Riemann, $\frac{1}{2} < 1$ ). Par le théorème de comparaison des fonctions positives, $∣ ln ∣$ puis $g$ sont intégrables sur $] 0, \frac{1}{2}]$ .

Donc $g$ est intégrable sur $] 0, 1 [$ et l'intégrale converge.

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