Corrigé e3a 2026 Maths MP — Exercice 3 (1 à 5) : La fonction Φ_X(t) = (1/t) ln E(e^{tX}) : développements limités, espérance, variance

Sujet officiel du concours e3a, session 2026, épreuve Maths MP. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

1. (Cours) Pour $a \neq = 0$ et $n \geq 1$ , écrire le développement limité en $0$ de $t \mapsto e^{a t}$ à l'ordre $n$ et de $t \mapsto ln (1 + a t)$ à l'ordre $2$ .

$X$ est une variable aléatoire finie à valeurs dans $R_{+}$ ; $0 \leq x_{1} < \dots < x_{k}$ ( $k \geq 1$ ) sont les valeurs qu'elle prend avec une probabilité non nulle, $p_{i} = P (X = x_{i}) > 0$ . Pour $t \in R^{*}$ , on pose $Φ_{X} (t) = \frac{1}{t} ln (\sum_{i = 1}^{k} p_{i} e^{x_{i} t})$ .

2.1. Déterminer $Φ_{X}$ si $X$ est certaine.
2.2.1. Si $P (Z = 0) = P (Z = 1) = \frac{1}{2}$ , calculer $Φ_{Z} (t)$ , $t \in R^{*}$ .
2.2.2. Montrer que $Φ_{Z}$ se prolonge en une fonction $Φ ~_{Z}$ dérivable sur $R$ .
On suppose désormais $k \geq 2$ .
3.1. Déterminer un développement limité de $Φ_{X}$ à l'ordre $1$ en $0$ .
3.2. En déduire un prolongement $Φ ~_{X}$ dérivable sur $R$ .
3.3. Montrer que $Φ ~_{X} (0) = E (X)$ .
3.4. Reconnaître $Φ ~_{X}^{'} (0)$ .
3.5. Limites de $Φ ~_{X}$ en $+ \infty$ et $- \infty$ .
3.6. $Φ ~_{X}$ peut-elle être impaire ?
4. Relier $Φ_{X} (t)$ et $E (e^{tX})$ pour $t \in R^{*}$ .
5. Pour $X$ , $Y$ finies, positives et indépendantes, relier $Φ_{X + Y}$ , $Φ_{X}$ et $Φ_{Y}$ .

Corrigé

1. Par la formule de Taylor-Young (ou par substitution $u = a t$ , qui tend vers $0$ avec $t$ , dans les développements usuels de $e^{u}$ et $ln (1 + u)$ ) :

$e^{a t} = j = 0 \sum n \frac{a ^{j} t ^{j}}{j !} + o (t^{n}) = 1 + a t + \frac{a ^{2} t ^{2}}{2} + \dots + \frac{a ^{n} t ^{n}}{n !} + o (t^{n}),$

$ln (1 + a t) = a t - \frac{a ^{2} t ^{2}}{2} + o (t^{2}) .$

(Un $o ((a t)^{n})$ est un $o (t^{n})$ puisque $a$ est une constante non nulle.)

Préliminaire.

Les $x_{i}$ sont toutes les valeurs de $X$ de probabilité non nulle et $X$ est finie, donc $\sum_{i = 1}^{k} p_{i} = 1$ . Posons $S_{X} (t) = \sum_{i = 1}^{k} p_{i} e^{x_{i} t}$ : c'est une somme de termes strictement positifs, donc $S_{X} (t) > 0$ et $Φ_{X}$ est bien définie et dérivable sur $R^{*}$ (produit de $t \mapsto \frac{1}{t}$ et de $ln \circ S_{X}$ ). Enfin $S_{X} (0) = 1$ .

2.1. Si $X$ est certaine, égale à $x_{1} \geq 0$ ( $k = 1$ , $p_{1} = 1$ ) : $Φ_{X} (t) = \frac{1}{t} ln (e^{x_{1} t}) = x_{1}$ . $Φ_{X}$ est constante, égale à $x_{1}$ sur $R^{*}$ .

2.2.1. $Z$ suit la loi de Bernoulli de paramètre $\frac{1}{2}$ ; ici $x_{1} = 0$ , $x_{2} = 1$ , $p_{1} = p_{2} = \frac{1}{2}$ , d'où

$\forall t \in R^{*}, Φ_{Z} (t) = \frac{1}{t} ln (\frac{1 + e ^{t}}{2}) .$

2.2.2. Par la question 1 (avec $a = 1$ ), $e^{t} = 1 + t + \frac{t ^{2}}{2} + o (t^{2})$ , donc

$\frac{1 + e ^{t}}{2} = 1 + v (t), v (t) = \frac{t}{2} + \frac{t ^{2}}{4} + o (t^{2}) t \to 0 0.$

Comme $ln (1 + v) = v - \frac{v ^{2}}{2} + o (v^{2})$ et $v (t)^{2} = \frac{t ^{2}}{4} + o (t^{2})$ (donc $o (v^{2}) = o (t^{2})$ ) :

$ln (\frac{1 + e ^{t}}{2}) = \frac{t}{2} + \frac{t ^{2}}{4} - \frac{t ^{2}}{8} + o (t^{2}) = \frac{t}{2} + \frac{t ^{2}}{8} + o (t^{2}), Φ_{Z} (t) = \frac{1}{2} + \frac{t}{8} + o (t) .$

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