Corrigé e3a 2026 Maths MPI — Exercice 1 (1 à 4.3) : Convexité de t ↦ tⁿ, la matrice I + J définie positive, espérance du nombre de résultats jamais obtenus

Sujet officiel du concours e3a, session 2026, épreuve Maths MPI. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

$n \geq 2$ est un entier et $φ : t \mapsto t^{n}$ .

1. Vérifier que $φ$ est convexe sur $] 0, 1 [$ .
2. Écrire l'inégalité de Jensen pour $φ$ .
Pour $p \geq 2$ , $J \in M_{p} (R)$ est la matrice dont tous les coefficients valent $1$ .
3.1. Trouver un polynôme annulateur de $J$ de degré $2$ .
3.2. En déduire les valeurs propres possibles de $I_{p} + J$ .
3.3. Justifier que $I_{p} + J \in S_{p}^{++} (R)$ .

Soient $n \geq 2$ et $r \geq 3$ . Une épreuve a $r$ issues $α_{1}, \dots, α_{r}$ , de probabilités $x_{1}, \dots, x_{r} \in] 0, 1 [$ ; on en réalise $n$ indépendantes. $X_{j}$ vaut $1$ si $α_{j}$ n'est jamais obtenu, $0$ sinon ; $X$ est le nombre d'issues jamais obtenues.
4.1. Loi de $X_{j}$ .
4.2. Exprimer $X$ à l'aide des $X_{j}$ .
4.3. Montrer que $E (X) = \sum_{j = 1}^{r} (1 - x_{j})^{n}$ .

Corrigé

1. $φ$ est de classe $C^{2}$ sur $] 0, 1 [$ (fonction polynomiale), avec

$φ^{'} (t) = n t^{n - 1}, φ^{''} (t) = n (n - 1) t^{n - 2} .$

Pour $t \in] 0, 1 [$ , $t^{n - 2} > 0$ (pour $n = 2$ , $t^{0} = 1$ ) et $n (n - 1) > 0$ car $n \geq 2$ : donc $φ^{''} > 0$ sur $] 0, 1 [$ . Une fonction deux fois dérivable sur un intervalle, de dérivée seconde positive, est convexe : $φ$ est convexe sur $] 0, 1 [$ (et même strictement convexe, puisque $φ^{'}$ y est strictement croissante). Ce caractère strict servira en 5.6.3.

2. $] 0, 1 [$ est un intervalle, donc une partie convexe de $R$ : toute combinaison convexe d'éléments de $] 0, 1 [$ est dans $] 0, 1 [$ . L'inégalité de Jensen pour la fonction convexe $φ$ s'écrit : pour tout entier $m \geq 1$ , tous $t_{1}, \dots, t_{m} \in] 0, 1 [$ et tous réels $λ_{1}, \dots, λ_{m} \geq 0$ tels que $\sum_{i = 1}^{m} λ_{i} = 1$ ,

$(i = 1 \sum m λ_{i} t_{i})^{n} \leq i = 1 \sum m λ_{i} t_{i}^{n} .$

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