Corrigé e3a 2026 Maths MPI — Exercice 1 (5.1 à 5.6.3) : Minimiser Σ(1−x_j)ⁿ sous la contrainte Σx_j = 1 : point critique, hessienne, Jensen

Sujet officiel du concours e3a, session 2026, épreuve Maths MPI. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

On cherche le minimum de $f (x_{1}, \dots, x_{r}) = \sum_{j = 1}^{r} (1 - x_{j})^{n}$ sous la contrainte $x_{k} > 0$ pour tout $k$ et $\sum_{j = 1}^{r} x_{j} = 1$ ( $n \geq 2$ , $r \geq 3$ ). On pose $U = {(x_{1}, \dots, x_{r - 1}) \in R^{r - 1} : x_{k} > 0 pour k \in [[1, r - 1]], \sum_{j = 1}^{r - 1} x_{j} < 1}$ .

5.1. Représenter $U$ lorsque $r = 3$ .
5.2. Justifier que $U$ est un ouvert borné de $R^{r - 1}$ .
5.3. Trouver une fonction $h$ des seules variables $x_{1}, \dots, x_{r - 1}$ , définie sur $U$ , telle que $h (x_{1}, \dots, x_{r - 1}) = E (X)$ .
5.4. Prouver que $h$ est de classe $C^{2}$ sur $U$ .
5.5.1. Calculer la $j$ -ième coordonnée du gradient de $h$ en $m \in U$ .
5.5.2. Déterminer l'unique point critique $b$ de $h$ sur $U$ .
5.6.1. Écrire la matrice hessienne de $h$ en $b$ .
5.6.2. Montrer que $E (X)$ admet un minimum local pour $x_{1} = \dots = x_{r} = \frac{1}{r}$ .
5.6.3. À l'aide de la convexité de $φ$ , montrer que $E (X)$ est minimale si et seulement si $x_{1} = \dots = x_{r} = \frac{1}{r}$ .

Corrigé

Les $r$ issues $α_{1}, \dots, α_{r}$ sont toutes les issues possibles d'une épreuve : leurs probabilités vérifient donc $\sum_{j = 1}^{r} x_{j} = 1$ , ce que l'énoncé n'écrit explicitement qu'en tête de la question 5. C'est cette contrainte qui permet d'éliminer $x_{r} = 1 - \sum_{j = 1}^{r - 1} x_{j}$ ; elle impose aussi $x_{j} < 1$ pour tout $j$ , puisque les autres $x_{i}$ sont strictement positifs.

5.1. Pour $r = 3$ , $U = {(x_{1}, x_{2}) : x_{1} > 0, x_{2} > 0, x_{1} + x_{2} < 1}$ est l'intérieur du triangle de sommets $(0, 0)$ , $(1, 0)$ et $(0, 1)$ , les trois côtés étant exclus (traits pointillés).

5.2. Ouvert. Pour $k \in [[1, r - 1]]$ , la projection $π_{k} : (x_{1}, \dots, x_{r - 1}) \mapsto x_{k}$ et la somme $s : (x_{1}, \dots, x_{r - 1}) \mapsto \sum_{j = 1}^{r - 1} x_{j}$ sont des formes linéaires sur $R^{r - 1}$ , espace de dimension finie : elles sont continues. Or

$U = (k = 1 ⋂ r - 1 π_{k}^{- 1} (] 0, + \infty [)) \cap s^{- 1} (] - \infty, 1 [) .$

L'image réciproque d'un ouvert par une application continue est un ouvert, et une intersection finie d'ouverts est un ouvert : $U$ est ouvert.

Borné. Si $(x_{1}, \dots, x_{r - 1}) \in U$ , alors pour tout $k$ , $0 < x_{k} \leq \sum_{j = 1}^{r - 1} x_{j} < 1$ (les autres termes de la somme sont positifs). Donc $∥ x ∥_{\infty} < 1$ : $U$ est contenu dans la boule unité de $∥ \cdot ∥_{\infty}$ , il est borné.

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