Corrigé e3a 2026 Maths MPI — Exercice 2 (1 à 6.2) : Les séries E_k(x) = Σ 1/(x−n)^k : existence, périodicité, parité, E_k' = −k E_{k+1}

Sujet officiel du concours e3a, session 2026, épreuve Maths MPI. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

1. Rappeler pour quels réels $x$ la série $\sum_{n \geq 1} n^{- x}$ converge ; on note alors $ζ (x)$ sa somme.
2. Rappeler l'intervalle de convergence et la somme de la série entière $\sum_{n \geq 0} t^{n}$ .

Pour $x \in R ∖ Z$ , on pose, sous réserve d'existence, $E_{1} (x) = \frac{1}{x} + \sum_{n = 1}^{+ \infty} (\frac{1}{x - n} + \frac{1}{x + n})$ et, pour $k \geq 2$ , $E_{k} (x) = \frac{1}{x ^{k}} + \sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{1}{( x - n ) ^{k}} + \sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{1}{( x + n ) ^{k}}$ .

3. Justifier l'existence de $E_{1} (x)$ .
4.1. Pour $k \geq 2$ , nature des séries $\sum_{n \geq 1} (x - n)^{- k}$ et $\sum_{n \geq 1} (x + n)^{- k}$ .
4.2. En déduire l'existence de $E_{k} (x)$ .
5.1. Montrer que $E_{k}$ est $1$ -périodique ( $k \in N^{*}$ ).
5.2. Étudier la parité de $E_{k}$ .
6.1. Montrer que $E_{k}$ est dérivable sur $R ∖ Z$ et que $E_{k}^{'} = - k E_{k + 1}$ .
6.2. En déduire que $E_{k}$ est de classe $C^{\infty}$ sur $R ∖ Z$ et que $E_{k} = \frac{( - 1 ) ^{k - 1}}{( k - 1 )!} E_{1}^{(k - 1)}$ .

Corrigé

1. C'est la série de Riemann : $\sum_{n \geq 1} \frac{1}{n ^{x}}$ converge si et seulement si $x > 1$ . La fonction $ζ$ est donc définie sur $] 1, + \infty [$ .

2. La série entière $\sum_{n \geq 0} t^{n}$ a pour rayon de convergence $1$ . Pour $∣ t ∣ \geq 1$ , son terme général ne tend pas vers $0$ : elle diverge grossièrement en $t = 1$ et en $t = - 1$ . Son intervalle de convergence est donc $] - 1, 1 [$ , et

$\forall t \in] - 1, 1 [, n = 0 \sum + \infty t^{n} = \frac{1}{1 - t} .$

3. Soit $x \in R ∖ Z$ . Les réels $x$ , $x - n$ et $x + n$ ( $n \geq 1$ ) sont non nuls, donc tous les termes sont définis, et

$\frac{1}{x - n} + \frac{1}{x + n} = \frac{2 x}{x ^{2} - n ^{2}} .$

Pour $n \geq 2∣ x ∣$ , on a $n^{2} - x^{2} \geq \frac{3}{4} n^{2} > 0$ , donc $\frac{2 x}{x ^{2} - n ^{2}} \leq \frac{8∣ x ∣}{3 n ^{2}}$ . La série de Riemann $\sum \frac{1}{n ^{2}}$ converge ( $2 > 1$ ). Par comparaison de séries à termes positifs, la série converge absolument, donc elle converge, et $E_{1} (x)$ existe.

Ce que le correcteur attend : le signe de $\frac{2 x}{x ^{2} - n ^{2}}$ dépend de $x$ , donc on raisonne sur la valeur absolue. Les séries $\sum \frac{1}{x - n}$ et $\sum \frac{1}{x + n}$ divergent séparément (comparaison à la série harmonique) : le regroupement par paires est indispensable.

4.1. Soit $k \geq 2$ . On a $\frac{1}{( x - n ) ^{k}} = \frac{1}{∣ n - x ∣ ^{k}} n \to + \infty \sim \frac{1}{n ^{k}}$ et $\frac{1}{( x + n ) ^{k}} n \to + \infty \sim \frac{1}{n ^{k}}$ . La série de Riemann $\sum \frac{1}{n ^{k}}$ converge ( $k > 1$ ). Par comparaison de séries à termes positifs (critère des équivalents), les deux séries convergent absolument, donc convergent.

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