Corrigé e3a 2026 Maths MPI — Exercice 2 (7 à 10) : Développement de E_k près de 0 avec les ζ(2s) : Fubini pour une famille sommable

Sujet officiel du concours e3a, session 2026, épreuve Maths MPI. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Notations de la partie précédente : $ζ (x) = \sum_{n \geq 1} n^{- x}$ ( $x > 1$ ), les fonctions $E_{k}$ sur $R ∖ Z$ , $E_{k}^{'} = - k E_{k + 1}$ et $E_{k} = \frac{( - 1 ) ^{k - 1}}{( k - 1 )!} E_{1}^{(k - 1)}$ (question 6).

7. Pour $x \in] - 1, 1 [$ et $n \in N^{*}$ , montrer que la série $\sum_{k \geq 0} \frac{x ^{k}}{n ^{k + 1}}$ converge et calculer sa somme.
8. Pour $x \in] - 1, 1 [$ , établir $\sum_{n = 1}^{+ \infty} (\frac{1}{n - x} - \frac{1}{n + x}) = \sum_{n = 1}^{+ \infty} \sum_{s = 1}^{+ \infty} \frac{2}{n ^{2 s}} x^{2 s - 1}$ .
9. Pour $x \in] - 1, 1 [$ non nul, montrer que $E_{1} (x) = \frac{1}{x} - 2 \sum_{s = 1}^{+ \infty} ζ (2 s) x^{2 s - 1}$ , en citant le théorème utilisé et en vérifiant ses hypothèses.
10. En déduire que, pour $k \in N^{*}$ et $x \in] - 1, 1 [$ non nul, $E_{k} (x) = \frac{1}{x ^{k}} + 2 (- 1)^{k} \sum_{s = 1}^{+ \infty} (k - 1 2 s - 1) ζ (2 s) x^{2 s - k}$ , avec $(p m) = 0$ si $p > m$ .

Corrigé

7. Soient $x \in] - 1, 1 [$ et $n \in N^{*}$ . On a $\frac{x ^{k}}{n ^{k + 1}} = \frac{1}{n} (\frac{x}{n})^{k}$ et $\frac{x}{n} \leq ∣ x ∣ < 1$ car $n \geq 1$ . La série est donc $\frac{1}{n}$ fois une série géométrique de raison $\frac{x}{n} \in] - 1, 1 [$ : elle converge (absolument), et d'après la question 2,

$k = 0 \sum + \infty \frac{x ^{k}}{n ^{k + 1}} = \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{1 - \frac{x}{n}} = \frac{1}{n - x} .$

Ce que le correcteur attend : la vérification $\frac{x}{n} < 1$ avant d'écrire la somme.

8. Soient $x \in] - 1, 1 [$ et $n \in N^{*}$ . La question 7, appliquée à $x$ et à $- x \in] - 1, 1 [$ , donne deux séries convergentes. Leur différence converge et

$\frac{1}{n - x} - \frac{1}{n + x} = k = 0 \sum + \infty \frac{x ^{k} - ( - x ) ^{k}}{n ^{k + 1}} = k = 0 \sum + \infty c_{k}, c_{k} = \frac{( 1 - ( - 1 ) ^{k} ) x ^{k}}{n ^{k + 1}} .$

Si $k$ est pair, $c_{k} = 0$ . Si $k = 2 s - 1$ est impair ( $s \geq 1$ ), $c_{k} = \frac{2 x ^{2 s - 1}}{n ^{2 s}}$ . La somme partielle d'ordre $S$ de la série $\sum_{s \geq 1} c_{2 s - 1}$ est égale à la somme partielle $\sum_{k = 0}^{2 S - 1} c_{k}$ , puisque les termes pairs sont nuls. C'est une suite extraite des sommes partielles de $\sum c_{k}$ : elle converge vers la même limite. Donc, pour tout $n \geq 1$ ,

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