Corrigé e3a 2026 Maths MPI — Exercice 3 (1.1 à 2.2) : Réduction d'une matrice symétrique « en équerre » de rang 2, sur R puis sur C

Sujet officiel du concours e3a, session 2026, épreuve Maths MPI. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

$K = R$ ou $C$ , $n \geq 3$ , $(a_{1}, \dots, a_{n}) \in K^{n}$ avec $a_{1} \neq = 0$ . $M \in M_{n} (K)$ est nulle, sauf sa dernière colonne $^{t} (a_{1}, \dots, a_{n - 1}, a_{n})$ et sa dernière ligne $(a_{1}, \dots, a_{n - 1}, a_{n})$ . On note $σ = \sum_{j = 1}^{n - 1} a_{j}^{2}$ (notation du corrigé).

1. Ici $K = R$ .
1.1. Justifier que $M$ est diagonalisable.
1.2. Rang de $M$ .
1.3. Justifier que $0$ est valeur propre et donner sa multiplicité.
1.4. Montrer que $M$ a deux valeurs propres non nulles $λ_{1}, λ_{2}$ (éventuellement égales).
1.5. Base du sous-espace propre associé à $0$ .
1.6. Pour $λ \neq = 0$ , en résolvant $M X = λ X$ , montrer que $λ_{1}$ et $λ_{2}$ sont solutions de $λ^{2} - λ a_{n} - σ = 0$ .
1.7. Bases des sous-espaces propres associés à $λ_{1}$ et $λ_{2}$ .
1.8. Expliciter $P$ inversible telle que $P^{- 1} M P$ soit diagonale, et cette matrice diagonale.
2. Ici $K = C$ .
2.1. Montrer que $M$ n'est pas diagonalisable si et seulement si $σ = 0$ ou $a_{n}^{2} + 4 σ = 0$ .
2.2. Donner un exemple de $M$ non diagonalisable pour $n = 3$ .

Corrigé

On note $(e_{1}, \dots, e_{n})$ la base canonique de $K^{n}$ et $C_{1}, \dots, C_{n}$ les colonnes de $M$ . Pour $j \leq n - 1$ , $C_{j} = a_{j} e_{n}$ , et $C_{n} =^{t} (a_{1}, \dots, a_{n - 1}, a_{n})$ . On a $M_{in} = a_{i} = M_{ni}$ pour tout $i$ : $M$ est symétrique.

1.1. $M$ est symétrique à coefficients réels. D'après le théorème spectral, elle est diagonalisable, et même dans une base orthonormée : il existe $Ω \in O_{n} (R)$ telle que $^{t} Ω M Ω$ soit diagonale.

Ce que le correcteur attend : le mot « réelle ». Une matrice symétrique complexe peut ne pas être diagonalisable : c'est tout l'objet de la question 2.

1.2. Les colonnes $C_{1}, \dots, C_{n - 1}$ sont toutes colinéaires à $e_{n}$ , et $C_{1} = a_{1} e_{n} \neq = 0$ . Elles engendrent donc $Vect (e_{n})$ . La colonne $C_{n}$ n'appartient pas à $Vect (e_{n})$ , car sa première coordonnée $a_{1}$ est non nulle. Donc

$Im M = Vect (C_{1}, \dots, C_{n}) = Vect (e_{n}, C_{n}), rg M = 2.$

1.3. Par le théorème du rang, $dim Ker M = n - rg M = n - 2 \geq 1$ (car $n \geq 3$ ). Le noyau n'est pas réduit à ${0}$ , donc $0$ est valeur propre de $M$ , et $dim E_{0} (M) = n - 2$ . Comme $M$ est diagonalisable, la multiplicité de chaque valeur propre est égale à la dimension de son sous-espace propre : $0$ est valeur propre de multiplicité $n - 2$ .

Ce que le correcteur attend : la distinction entre multiplicité et dimension du sous-espace propre. En général on a seulement $dim E_{0} \leq m (0)$ ; c'est la diagonalisabilité qui donne l'égalité.

1.4. $M$ est diagonalisable sur $R$ : son polynôme caractéristique est scindé sur $R$ et la somme des multiplicités de ses valeurs propres vaut $n$ . La valeur propre $0$ compte pour $n - 2$ ; il reste donc exactement deux valeurs propres, comptées avec multiplicité, et elles sont non nulles (sinon la multiplicité de $0$ dépasserait $n - 2$ ). On les note $λ_{1}$ et $λ_{2}$ . Autrement dit, $M$ est semblable à $diag (0, \dots, 0, λ_{1}, λ_{2})$ avec $λ_{1} λ_{2} \neq = 0$ ; de plus $λ_{1} + λ_{2} = tr M = a_{n}$ .

1.5. Pour $X =^{t} (x_{1}, \dots, x_{n})$ , le système $M X = 0$ s'écrit

$a_{i} x_{n} = 0 (1 \leq i \leq n - 1), j = 1 \sum n - 1 a_{j} x_{j} + a_{n} x_{n} = 0.$

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