Corrigé e3a 2026 Maths PC — Exercice 1 (1 à 5.6) : Préliminaires de réduction et une matrice antisymétrique d'ordre 5 : rang 4, carré symétrique

Sujet officiel du concours e3a, session 2026, épreuve Maths PC. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

$A^{⊤}$ désigne la transposée de $A$ . Dans les questions 1 à 3, $g$ est un endomorphisme d'un espace vectoriel réel $H$ .

1. Si $μ$ est valeur propre de $g$ , montrer que $μ^{2}$ est valeur propre de $g^{2} = g \circ g$ .
2. Si $x$ est vecteur propre de $g^{2}$ pour une valeur propre non nulle, montrer que $g (x)$ est vecteur propre de $g^{2}$ .
3. Montrer que deux sous-espaces propres de $g$ associés à des valeurs propres distinctes sont en somme directe.
4. Pour $A \in M_{n} (R)$ , $n \geq 2$ , exprimer sans démonstration $det (- A)$ et $det (A^{⊤})$ en fonction de $det A$ .

$E = R^{5}$ est muni du produit scalaire usuel $(x ∣ y) = X^{⊤} Y$ ; la base canonique $B = (e_{1}, \dots, e_{5})$ est orthonormée. $f$ est l'endomorphisme de matrice $M$ dans $B$ , où $M$ a des $1$ juste sous la diagonale, des $- 1$ juste au-dessus, et des $0$ partout ailleurs : $M_{j + 1, j} = 1$ , $M_{j, j + 1} = - 1$ pour $1 \leq j \leq 4$ .

5.1. Déterminer $M + M^{⊤}$ .
5.2. Montrer que $f$ n'est pas un automorphisme de $E$ .
5.3. Déterminer le rang de $M$ .
5.4. Prouver que $f^{2}$ est un endomorphisme symétrique de $E$ .
5.5. En déduire que $M^{2}$ est diagonalisable dans $M_{5} (R)$ .
5.6. Montrer que $(f (x) ∣ y) = - (x ∣ f (y))$ pour tous $x, y \in E$ .

Corrigé

1. Soit $μ$ une valeur propre de $g$ : il existe un vecteur $x$ non nul tel que $g (x) = μx$ . Par linéarité de $g$ ,

$g^{2} (x) = g (g (x)) = g (μx) = μ g (x) = μ^{2} x .$

Comme $x \neq = 0$ , cette égalité dit exactement que $μ^{2}$ est valeur propre de $g^{2}$ (et $x$ un vecteur propre associé).

Ce que le correcteur attend : la mention $x \neq = 0$ ; c'est elle qui fait d'une égalité $g^{2} (x) = μ^{2} x$ une affirmation sur le spectre.

2. Soit $x$ un vecteur propre de $g^{2}$ associé à la valeur propre $λ \neq = 0$ : $x \neq = 0$ et $g^{2} (x) = λ x$ . Alors, puisque $g$ commute avec $g^{2}$ ,

$g^{2} (g (x)) = g (g^{2} (x)) = g (λ x) = λ g (x) .$

Reste à voir que $g (x) \neq = 0$ : si l'on avait $g (x) = 0$ , on aurait $λ x = g^{2} (x) = g (0) = 0$ , donc $x = 0$ puisque $λ \neq = 0$ ; c'est exclu. Ainsi $g (x)$ est un vecteur propre de $g^{2}$ , associé à la même valeur propre $λ$ .

Ce que le correcteur attend : la vérification $g (x) \neq = 0$ , où sert l'hypothèse $λ \neq = 0$ . En revanche $x$ n'a aucune raison d'être vecteur propre de $g$ .

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