Corrigé e3a 2026 Maths PC — Exercice 2 (1 à 6.2.3) : L'opérateur f ↦ ∫₀¹ f(t)/(x+t) dt : cas des monômes, cas de l'exponentielle et équivalent en 0

Sujet officiel du concours e3a, session 2026, épreuve Maths PC. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

1. Écrire le développement limité à l'ordre $2$ de $t \mapsto e^{t}$ en $0$ .
2. Pour $h$ continue sur $R_{+}^{*}$ et $a > 0$ , justifier que $H : x \mapsto \int_{a}^{x} h (t) d t$ est de classe $C^{1}$ sur $R_{+}^{*}$ et donner $H^{'}$ .
3. En déduire que $G : x \mapsto \int_{x}^{x + 1} h (t) d t$ est de classe $C^{1}$ sur $R_{+}^{*}$ et calculer $G^{'}$ .
4. Pour $f$ continue sur $[0, 1]$ , justifier que $F : x \mapsto \int_{0}^{1} \frac{f ( t )}{x + t} d t$ est définie sur $R_{+}^{*}$ . On note $T (f) = F$ .
5. On pose $f_{n} (t) = t^{n}$ et $F_{n} = T (f_{n})$ ; soit $x > 0$ .
5.1. Calculer $F_{0} (x)$ .
5.2. Calculer $F_{k} (x) + x F_{k - 1} (x)$ pour $k \geq 1$ .
5.3. Montrer que $\frac{F _{k} ( x )}{( - x ) ^{k}} - \frac{F _{k - 1} ( x )}{( - x ) ^{k - 1}} = \frac{( - 1 ) ^{k}}{k} (\frac{1}{x})^{k}$ .
5.4. En déduire un polynôme $P_{n}$ tel que $F_{n} (x) = (- x)^{n} (ln (1 + \frac{1}{x}) - P_{n} (\frac{1}{x}))$ .
6. On pose $G = T (g)$ avec $g (t) = e^{t}$ (la lettre $G$ change de sens).
6.1. Par le changement de variable $u = x + t$ , prouver que $G$ est $C^{1}$ sur $R_{+}^{*}$ .
6.2. On pose $J (x) = \int_{0}^{x} \frac{e ^{t} - 1}{t} d t$ et $K (x) = \int_{0}^{x} \frac{e ^{t}}{1 + t} d t$ .
6.2.1. Montrer que $J$ et $K$ sont de classe $C^{1}$ sur $R_{+}$ .
6.2.2. Montrer que $L : x \mapsto G (x) e^{x} - e K (x) + J (x) + ln x$ est constante sur $R_{+}^{*}$ .
6.2.3. En déduire $lim_{x \to 0^{+}} G (x)$ et un équivalent de $G (x)$ en $0^{+}$ .

Corrigé

1. Par la formule de Taylor-Young (l'exponentielle est de classe $C^{\infty}$ , et toutes ses dérivées valent $1$ en $0$ ) :

$e^{t} = 1 + t + \frac{t ^{2}}{2} + o (t^{2}) (t \to 0) .$

2. $h$ est continue sur l'intervalle $R_{+}^{*}$ et $a \in R_{+}^{*}$ . D'après le théorème fondamental de l'analyse, $H$ est la primitive de $h$ sur $R_{+}^{*}$ qui s'annule en $a$ : $H$ est dérivable sur $R_{+}^{*}$ et

$\forall x > 0, H^{'} (x) = h (x) .$

$H^{'} = h$ étant continue, $H$ est de classe $C^{1}$ sur $R_{+}^{*}$ .

Ce que le correcteur attend : $H^{'} (x) = h (x)$ , et non $h (x) - h (a)$ : la borne $a$ est constante.

3. Soit $x > 0$ ; alors $x$ et $x + 1$ sont dans $R_{+}^{*}$ et, par la relation de Chasles,

$G (x) = \int_{x}^{a} h (t) d t + \int_{a}^{x + 1} h (t) d t = H (x + 1) - H (x) .$

L'application $x \mapsto x + 1$ est de classe $C^{1}$ de $R_{+}^{*}$ dans $R_{+}^{*}$ , et $H$ est de classe $C^{1}$ sur $R_{+}^{*}$ (question 2) ; par composition et différence, $G$ est de classe $C^{1}$ sur $R_{+}^{*}$ et

$\forall x > 0, G^{'} (x) = H^{'} (x + 1) - H^{'} (x) = h (x + 1) - h (x) .$

4. Soit $x > 0$ . Pour tout $t \in [0, 1]$ , $x + t \geq x > 0$ : le dénominateur ne s'annule pas. La fonction $t \mapsto \frac{f ( t )}{x + t}$ est donc continue sur le segment $[0, 1]$ , comme quotient de fonctions continues dont le dénominateur ne s'annule pas ; son intégrale sur $[0, 1]$ existe. $F$ est définie sur $R_{+}^{*}$ . (Aucun théorème d'intégrale à paramètre n'est nécessaire ici.)

5.1. Comme $x + t > 0$ sur $[0, 1]$ ,

$F_{0} (x) = \int_{0}^{1} \frac{d t}{x + t} = [ln (x + t)]_{0}^{1} = ln (x + 1) - ln x = ln (1 + \frac{1}{x}) .$

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