Corrigé e3a 2026 Maths PC — Exercice 3 (1 à 6) : Variance maximale et minimale d'une variable à valeurs dans {1,2,3} : extrema sur un triangle

Sujet officiel du concours e3a, session 2026, épreuve Maths PC. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

$X$ est une variable aléatoire à valeurs dans ${1, 2, 3}$ et $p_{k} = P (X = k)$ pour $k \in [[1, 3]]$ . On cherche pour quelles valeurs des $p_{k}$ la variance $V (X)$ est maximale, puis minimale.

1. Déterminer les valeurs possibles de $X^{2}$ .
2. Calculer $E (X^{2})$ .
3. Exprimer $V (X)$ à l'aide de $p_{1}$ et $p_{2}$ seulement.
4. On pose $f (x, y) = 4 x + y - 4 x^{2} - y^{2} - 4 x y$ sur $R^{2}$ et $T = {(x, y) \in [0, 1]^{2}, x + y \leq 1}$ (fermé borné).
4.1. Représenter $T$ .
4.2. Justifier que $f$ est de classe $C^{2}$ sur $R^{2}$ .
4.3. Montrer que $f$ possède des extrema sur $T$ .
4.4. Déterminer le gradient $\nabla f (m)$ en $m = (x, y)$ .
4.5. Prouver que $f$ n'a pas de point critique dans l'intérieur de $T$ .
4.6. Tableau de variations et courbe de $g : x \mapsto x (1 - x)$ sur $[0, 1]$ .
4.7. Déterminer les extrema de $f$ sur $T$ .
5. Résoudre le problème posé.
6. Que dire de $X$ quand sa variance est minimale ?

Corrigé

1. $X (Ω) \subset {1, 2, 3}$ , donc $X^{2} (Ω) \subset {1^{2}, 2^{2}, 3^{2}} = {1, 4, 9}$ : les valeurs possibles de $X^{2}$ sont $1$ , $4$ et $9$ , prises avec les probabilités $p_{1}$ , $p_{2}$ , $p_{3}$ (car $X^{2} = k^{2} ⟺ X = k$ , $X$ étant à valeurs positives).

2. $X$ est finie, donc $X^{2}$ admet une espérance, que donne la formule de transfert :

$E (X^{2}) = k = 1 \sum 3 k^{2} P (X = k) = p_{1} + 4 p_{2} + 9 p_{3} .$

3. Les événements $(X = 1)$ , $(X = 2)$ , $(X = 3)$ forment un système complet, donc $p_{1} + p_{2} + p_{3} = 1$ , soit $p_{3} = 1 - p_{1} - p_{2}$ . Alors

$E (X) = p_{1} + 2 p_{2} + 3 (1 - p_{1} - p_{2}) = 3 - 2 p_{1} - p_{2},$

$E (X^{2}) = p_{1} + 4 p_{2} + 9 (1 - p_{1} - p_{2}) = 9 - 8 p_{1} - 5 p_{2} .$

Par la formule de Koenig-Huygens, $V (X) = E (X^{2}) - E (X)^{2}$ ; comme $(3 - 2 p_{1} - p_{2})^{2} = 9 + 4 p_{1}^{2} + p_{2}^{2} - 12 p_{1} - 6 p_{2} + 4 p_{1} p_{2}$ ,

$V (X) = 9 - 8 p_{1} - 5 p_{2} - 9 - 4 p_{1}^{2} - p_{2}^{2} + 12 p_{1} + 6 p_{2} - 4 p_{1} p_{2} = 4 p_{1} + p_{2} - 4 p_{1}^{2} - p_{2}^{2} - 4 p_{1} p_{2} .$

Ainsi $V (X) = f (p_{1}, p_{2})$ , avec la fonction $f$ de la question 4.

4.1. $T$ est le triangle (plein, bord compris) de sommets $O = (0, 0)$ , $A = (1, 0)$ , $B = (0, 1)$ : les conditions $x \geq 0$ , $y \geq 0$ , $x + y \leq 1$ entraînent $x \leq 1$ et $y \leq 1$ .

4.2. $f$ est une fonction polynomiale en $(x, y)$ ; ses dérivées partielles à tout ordre existent et sont polynomiales, donc continues : $f$ est de classe $C^{\infty}$ , a fortiori de classe $C^{2}$ sur $R^{2}$ .

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