Corrigé e3a 2026 Maths PSI — Exercice 1 (1 à 8) : Extremum d'une fonction de n variables : hessienne 2(I+J)

Sujet officiel du concours e3a, session 2026, épreuve Maths PSI. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Soit $n ⩾ 2$ . On note $J \in M_{n} (R)$ la matrice dont tous les coefficients valent $1$ , et $f$ la fonction définie sur $R^{n}$ par $f (m) = \sum_{k = 1}^{n} x_{k}^{2} + (\sum_{k = 1}^{n} x_{k})^{2} - \sum_{k = 1}^{n} x_{k}$ pour $m = (x_{1}, \dots, x_{n})$ .

1. Écrire la formule de Taylor-Young à l'ordre $2$ en $a$ pour $f$ de classe $C^{2}$ sur $R^{n}$ .
2.1. Déterminer le rang de $J$ . 2.2. Justifier que $0$ est valeur propre de $J$ ; donner son ordre de multiplicité. 2.3. Montrer que $I_{n} + J$ est symétrique réelle définie positive.
3. Justifier que $f$ est de classe $C^{2}$ sur $R^{n}$ .
4.1. Calculer $\frac{\partial f}{\partial x _{1}} (m)$ . 4.2. Calculer $\frac{\partial ^{2} f}{\partial x _{2} \partial x _{1}} (m)$ et $\frac{\partial ^{2} f}{\partial x _{1} \partial x _{2}} (m)$ . 4.3. Calculer $\frac{\partial ^{2} f}{\partial x _{1}^{2}} (m)$ .
5. Déterminer le gradient $\nabla f (m)$ . 6. Déterminer l'unique point critique $a$ de $f$ .
7.1. Déterminer la hessienne $H_{f} (m)$ . 7.2. Déterminer son spectre.
8. Montrer que $f$ admet un extremum local en $a$ ; préciser sa nature et sa valeur.

Corrigé

1. Soit $f$ de classe $C^{2}$ sur l'ouvert $R^{n}$ et $a \in R^{n}$ . La formule de Taylor-Young à l'ordre $2$ s'écrit, lorsque $h = (h_{1}, \dots, h_{n}) \to 0$ :

$f (a + h) = f (a) + ⟨ \nabla f (a), h ⟩ + \frac{1}{2} h^{⊤} H_{f} (a) h + o (∥ h ∥^{2}),$

c'est-à-dire, en coordonnées,

$f (a + h) = f (a) + i = 1 \sum n \frac{\partial f}{\partial x _{i}} (a) h_{i} + \frac{1}{2} i = 1 \sum n j = 1 \sum n \frac{\partial ^{2} f}{\partial x _{i} \partial x _{j}} (a) h_{i} h_{j} + o (∥ h ∥^{2}),$

où $H_{f} (a) = (\frac{\partial ^{2} f}{\partial x _{i} \partial x _{j}} (a))_{1 ⩽ i, j ⩽ n}$ est la matrice hessienne (symétrique d'après le théorème de Schwarz) et $∥ \cdot ∥$ une norme quelconque de $R^{n}$ . Ce que le correcteur attend : la version à $n$ variables, avec le terme croisé en $h_{i} h_{j}$ ; la formule d'une variable, ou une somme des seuls termes $\frac{\partial ^{2} f}{\partial x _{i}^{2}}$ , ne répond pas.

2.1. Les $n$ colonnes de $J$ sont toutes égales à $U =^{t} (1, \dots, 1) \neq = 0$ . Donc $Im (J) = Vect (U)$ est de dimension $1$ : $rg (J) = 1$ .

2.2. D'après le théorème du rang, $dim Ker (J) = n - rg (J) = n - 1 ⩾ 1$ car $n ⩾ 2$ . Donc $Ker (J) \neq = {0}$ : $0$ est valeur propre de $J$ , et le sous-espace propre $E_{0} (J) = Ker (J)$ est de dimension $n - 1$ .

La matrice $J$ est symétrique réelle ; d'après le théorème spectral, elle est diagonalisable. Pour une matrice diagonalisable, l'ordre de multiplicité de chaque valeur propre est égal à la dimension du sous-espace propre associé : l'ordre de multiplicité de $0$ est donc $n - 1$ .

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