Corrigé e3a 2026 Maths PSI — Exercice 2 (1.1 à 2) : Suite récurrente contractante et série de fonctions itérées

Sujet officiel du concours e3a, session 2026, épreuve Maths PSI. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

On pose $f (x) = ln (1 - \frac{1}{2} x)$ et l'on définit, lorsque c'est possible, $v_{0} \in [- 1, 1]$ et $v_{n + 1} = f (v_{n})$ pour $n \in N$ .

1.1. Dresser le tableau de variations de $f$ sur $[- 1, 1]$ et déterminer $a, b$ tels que $f ([- 1, 1]) = [a, b]$ .
1.2. Justifier que $[a, b] \subset] - 1, 1 [$ .
1.3. Montrer que, pour tout $n \in N^{*}$ , $v_{n}$ est bien défini et appartient à $[a, b]$ .
1.4. Montrer qu'il existe $k \in] 0, 1 [$ tel que $∣ f^{'} (x) ∣ ⩽ k$ pour tout $x \in [a, b]$ .
1.5. En déduire que $∣ v_{n} ∣ ⩽ k ∣ v_{n - 1} ∣$ pour tout $n ⩾ 2$ .
1.6. Montrer que $(v_{n})$ converge et donner sa limite.
2. On pose $u_{0} (x) = x$ et $u_{n + 1} (x) = f (u_{n} (x))$ sur $[- 1, 1]$ . Prouver que $\sum_{n ⩾ 1} u_{n}$ converge uniformément sur $[- 1, 1]$ .

Corrigé

1.1. Pour $x \in [- 1, 1]$ , $1 - \frac{x}{2} \in [\frac{1}{2}, \frac{3}{2}] \subset] 0, + \infty [$ : $f$ est bien définie, et de classe $C^{1}$ sur $[- 1, 1]$ comme composée de $x \mapsto 1 - \frac{x}{2}$ (affine, à valeurs dans $] 0, + \infty [$ ) et de $ln$ . Pour tout $x \in [- 1, 1]$ ,

$f^{'} (x) = \frac{- \frac{1}{2}}{1 - \frac{x}{2}} = - \frac{1}{2 - x} < 0 (car 2 - x ⩾ 1 > 0) .$

Donc $f$ est strictement décroissante sur $[- 1, 1]$ , avec $f (- 1) = ln \frac{3}{2}$ , $f (0) = 0$ et $f (1) = ln \frac{1}{2} = - ln 2$ :

$x f^{'} (x) f (x) - 1 - \frac{1}{3} ln \frac{3}{2} - ↘ 0 - \frac{1}{2} 0 - ↘ 1 - 1 - ln 2$

Comme $f$ est continue et strictement décroissante sur le segment $[- 1, 1]$ , le théorème des valeurs intermédiaires donne $f ([- 1, 1]) = [f (1), f (- 1)]$ :

$a = - ln 2, b = ln \frac{3}{2} .$

Ce que le correcteur attend : l'ordre des bornes ; $f$ décroît, donc $a = f (1)$ et $b = f (- 1)$ , et non l'inverse.

1.2. Comme $2 < e$ et que $ln$ est strictement croissante, $ln 2 < 1$ , donc $a = - ln 2 > - 1$ . D'autre part $1 < \frac{3}{2} < 2$ , donc $0 < ln \frac{3}{2} < ln 2 < 1$ , d'où $b < 1$ . Ainsi $- 1 < a < 0 < b < 1$ et $[a, b] \subset] - 1, 1 [$ .

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