Corrigé e3a 2026 Maths PSI — Exercice 3 (1 à 11) : Réduction de l'opérateur P ↦ ((X²−1)P)''

Sujet officiel du concours e3a, session 2026, épreuve Maths PSI. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Soit $n ⩾ 3$ , $E_{n} = R_{n} [X]$ , $P_{k} = X^{k}$ et $B = (P_{0}, \dots, P_{n})$ . Pour $P \in E_{n}$ : $Φ (P) = ((X^{2} - 1) P)^{''} = (X^{2} - 1) P^{''} + 4 X P^{'} + 2 P$ .

1. Vérifier que $Φ$ est un endomorphisme de $E_{n}$ . 2. Calculer $Φ (P_{k})$ pour $k \in [[0, n]]$ .
3. Déterminer la matrice $M$ de $Φ$ dans $B$ (trois premières colonnes, puis $j$ -ième colonne pour $j \in [[3, n + 1]]$ ).
4. Montrer que $Φ$ admet $n + 1$ valeurs propres distinctes $λ_{0} < λ_{1} < \dots < λ_{n}$ .
5. $Φ$ est-il un automorphisme de $E_{n}$ ? 6. Montrer que $Φ$ est diagonalisable ; dimension de ses sous-espaces propres ?
7. Soit $T$ un vecteur propre associé à $λ_{k}$ . 7.1. Montrer que $de g T = k$ . 7.2. Montrer que $Q (X) = T (- X)$ est vecteur propre associé à $λ_{k}$ .
8. Montrer qu'il existe une unique base $U = (Q_{0}, \dots, Q_{n})$ de vecteurs propres, avec $Q_{k}$ unitaire de degré $k$ et $Q_{k} (- X) = (- 1)^{k} Q_{k} (X)$ .
9. Parité des $Q_{k}$ ? 10. Justifier que $(Q_{0}, \dots, Q_{k})$ est une base de $R_{k} [X]$ . 11. Calculer $Q_{0}, Q_{1}, Q_{2}, Q_{3}$ .

Corrigé

1. Linéarité. Pour $P, R \in E_{n}$ et $α \in R$ , $Φ (α P + R) = (α (X^{2} - 1) P + (X^{2} - 1) R)^{''} = α Φ (P) + Φ (R)$ , par linéarité de la multiplication par $X^{2} - 1$ et de la dérivation.

Stabilité. Si $de g P ⩽ n$ , alors $de g ((X^{2} - 1) P) ⩽ n + 2$ , et dériver deux fois abaisse le degré de $2$ (ou donne $0$ ) : $de g Φ (P) ⩽ n$ . Donc $Φ (E_{n}) \subset E_{n}$ et $Φ$ est un endomorphisme de $E_{n}$ . (Rappel : $E_{n}$ contient tous les polynômes de degré au plus $n$ , et $0$ .)

2. $(X^{2} - 1) P_{k} = X^{k + 2} - X^{k}$ , d'où, en dérivant deux fois (pour $k \in {0, 1}$ , le coefficient $k (k - 1)$ est nul et le second terme disparaît) :

$Φ (P_{k}) = (k + 2) (k + 1) X^{k} - k (k - 1) X^{k - 2} = (k + 1) (k + 2) P_{k} - k (k - 1) P_{k - 2} .$

Pour $k = 0$ et $k = 1$ , le second terme est nul : $Φ (P_{0}) = 2 P_{0}$ et $Φ (P_{1}) = 6 P_{1}$ . Vérification par la seconde expression : $(X^{2} - 1) k (k - 1) X^{k - 2} + 4 k X^{k} + 2 X^{k} = (k^{2} + 3 k + 2) X^{k} - k (k - 1) X^{k - 2}$ .

3. La $j$ -ième colonne de $M$ ( $j \in [[1, n + 1]]$ ) contient les coordonnées de $Φ (P_{j - 1})$ dans $B$ ; la ligne $i$ correspond à $P_{i - 1}$ . D'après la question 2 :

colonne $1$ : $Φ (P_{0}) = 2 P_{0}$ , soit $^{t} (2, 0, 0, \dots, 0)$ ;
colonne $2$ : $Φ (P_{1}) = 6 P_{1}$ , soit $^{t} (0, 6, 0, \dots, 0)$ ;
colonne $3$ : $Φ (P_{2}) = 12 P_{2} - 2 P_{0}$ , soit $^{t} (- 2, 0, 12, 0, \dots, 0)$ ;
colonne $j \in [[3, n + 1]]$ : $Φ (P_{j - 1}) = j (j + 1) P_{j - 1} - (j - 1) (j - 2) P_{j - 3}$ , donc $m_{j - 2, j} = - (j - 1) (j - 2)$ , $m_{j, j} = j (j + 1)$ , et tous les autres coefficients de la colonne sont nuls.

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