Corrigé e3a 2026 Maths PSI — Exercice 3 (12 à 14) : Produit scalaire à poids 1−t² et polynômes orthogonaux

Sujet officiel du concours e3a, session 2026, épreuve Maths PSI. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Mêmes notations que dans la première partie : $E_{n} = R_{n} [X]$ ( $n ⩾ 3$ ), $Φ (P) = ((X^{2} - 1) P)^{''}$ , valeurs propres $λ_{0} < \dots < λ_{n}$ et base $U = (Q_{0}, \dots, Q_{n})$ de vecteurs propres, $Q_{k}$ unitaire de degré $k$ , $Φ (Q_{k}) = λ_{k} Q_{k}$ .

12. Montrer que $(P ∣ Q) = \int_{- 1}^{1} (1 - t^{2}) P (t) Q (t) d t$ définit un produit scalaire sur $E_{n}$ .
13.1. Montrer que $Φ$ est un endomorphisme symétrique de $(E_{n}, (\cdot ∣ \cdot))$ (on pourra intégrer par parties).
13.2. Montrer que la base $U$ est orthogonale (on pourra calculer $(Φ (Q_{i}) ∣ Q_{j})$ pour $i \neq = j$ ).
14. Soit $j \in [[1, n]]$ . Montrer que $(S ∣ Q_{j}) = 0$ pour tout $S \in R_{j - 1} [X]$ .

Corrigé

12. Bonne définition. Pour $P, Q \in E_{n}$ , la fonction $t \mapsto (1 - t^{2}) P (t) Q (t)$ est polynomiale, donc continue sur le segment $[- 1, 1]$ : l'intégrale existe, et $(P ∣ Q) \in R$ .

Symétrie. $(1 - t^{2}) P (t) Q (t) = (1 - t^{2}) Q (t) P (t)$ , donc $(P ∣ Q) = (Q ∣ P)$ .

Bilinéarité. Pour $P_{1}, P_{2}, Q \in E_{n}$ et $α \in R$ , par linéarité de l'intégrale, $(α P_{1} + P_{2} ∣ Q) = α (P_{1} ∣ Q) + (P_{2} ∣ Q)$ ; la linéarité à droite s'en déduit par symétrie.

Positivité. Pour $t \in [- 1, 1]$ , $1 - t^{2} ⩾ 0$ et $P (t)^{2} ⩾ 0$ , donc $(P ∣ P) = \int_{- 1}^{1} (1 - t^{2}) P (t)^{2} d t ⩾ 0$ par positivité de l'intégrale ( $- 1 < 1$ ).

Caractère défini. Supposons $(P ∣ P) = 0$ . La fonction $g : t \mapsto (1 - t^{2}) P (t)^{2}$ est continue, positive sur $[- 1, 1]$ et d'intégrale nulle : elle est donc identiquement nulle sur $[- 1, 1]$ . Pour $t \in] - 1, 1 [$ , $1 - t^{2} \neq = 0$ , donc $P (t)^{2} = 0$ , soit $P (t) = 0$ . Le polynôme $P$ admet ainsi une infinité de racines (tout l'intervalle $] - 1, 1 [$ ) : c'est le polynôme nul.

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