Corrigé e3a 2026 Maths PSI — Exercice 4 (1 à 11) : Deux dés truqués ne donnent pas une somme uniforme

Sujet officiel du concours e3a, session 2026, épreuve Maths PSI. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

On confond polynôme et fonction polynomiale.

1. Montrer qu'un polynôme de $R [X]$ de degré impair a au moins une racine réelle.
2. Déterminer les racines complexes de $X^{11} - 1$ .
3. En déduire celles de $\sum_{k = 0}^{10} X^{k}$ ; justifier qu'aucune n'est réelle.

$U$ et $V$ sont les résultats de deux lancers indépendants de dés à six faces numérotées de $1$ à $6$ , non nécessairement équilibrés, chaque face ayant une probabilité non nulle ; $S = U + V$ .

4. Déterminer les valeurs prises par $U$ , $V$ et $S$ .
On suppose désormais que $S$ suit une loi uniforme.
5. Montrer que la fonction génératrice $G_{S}$ est polynomiale et la déterminer. 6. Déterminer ses racines dans $C$ .
7. Déterminer des polynômes $Q$ et $R$ , dont les coefficients dépendent des lois de $U$ et de $V$ , tels que $G_{U} (t) = t Q (t)$ et $G_{V} (t) = t R (t)$ pour tout $t \in R$ .
8. Montrer que $Q$ et $R$ ont chacun au moins une racine réelle. 9. Montrer que $G_{S} (t) = t^{2} Q (t) R (t)$ pour tout $t \in R$ .
10. En déduire une contradiction. 11. Peut-on truquer deux dés pour que la somme suive une loi uniforme ?

Corrigé

1. Soit $P = \sum_{k = 0}^{d} a_{k} X^{k} \in R [X]$ de degré $d$ impair, $a_{d} \neq = 0$ . Quitte à remplacer $P$ par $- P$ (mêmes racines), on suppose $a_{d} > 0$ . Au voisinage de $\pm \infty$ , $P (x) \sim a_{d} x^{d}$ ; comme $d$ est impair, $lim_{x \to + \infty} P (x) = + \infty$ et $lim_{x \to - \infty} P (x) = - \infty$ . Il existe donc $A > 0$ tel que $P (A) > 0$ et $P (- A) < 0$ . La fonction polynomiale $P$ est continue sur le segment $[- A, A]$ : par le théorème des valeurs intermédiaires, elle s'y annule. $P$ possède au moins une racine réelle.

(Variante : les racines complexes non réelles d'un polynôme à coefficients réels vont par paires conjuguées de même multiplicité ; leur nombre total, compté avec multiplicité, est donc pair, alors que $P$ en a $d$ , impair, dans $C$ .)

2. Les racines de $X^{11} - 1$ sont les racines onzièmes de l'unité :

$ω_{k} = e^{2 i k π /11}, k \in [[0, 10]] .$

Elles sont deux à deux distinctes (arguments distincts dans $[0, 2 π [$ ) et au nombre de $11 = de g (X^{11} - 1)$ : ce sont toutes les racines, et elles sont simples. On a donc $X^{11} - 1 = \prod_{k = 0}^{10} (X - ω_{k})$ .

3. Par la formule de sommation géométrique, $X^{11} - 1 = (X - 1) \sum_{k = 0}^{10} X^{k}$ . Comme $ω_{0} = 1$ ,

$k = 0 \sum 10 X^{k} = \frac{X ^{11} - 1}{X - 1} = k = 1 \prod 10 (X - ω_{k}) :$

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