Corrigé Ecricome 2025 Maths appliquées ECG — Exercice 1 (début) (Q1 à Q5) : Matrices M telles que AM + MA = 0 : sous-espace E_C, transposée, polynôme annulateur X³ − 9X, diagonalisation de A et P² = 9I

Q1. Cas $C=0_3$. Pour toute $M\in {\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})$, $0_{3}M+M{0}_3=0_3$ : la condition est toujours remplie, donc

$$\boxed{E_{0_3}={\mathcal{M}}_3(\mathbb{R}).}$$

Cas $C=I_3$. Pour $M\in {\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})$, $I_{3}M+M{I}_3=2M$, et $2M=0_3$ si et seulement si $M=0_3$. Donc

$$\boxed{E_{I_3}=\{0_3\}.}$$

Ce que le correcteur attend : des ensembles, écrits comme tels ; $E_{I_3}$ n'est pas « la matrice nulle » mais le singleton $\{0_3\}$.

Q2. Soit $C\in {\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})$. On vérifie les trois points de la définition d'un sous-espace vectoriel.

• Inclusion. Par définition, $E_C\subset {\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})$.
• Vecteur nul. $C{0}_3+0_{3}C=0_3$, donc $0_3\in E_C$.
• Stabilité par combinaison linéaire. Soient $M,N\in E_C$ et $\alpha ,\beta \in \mathbb{R}$. Par distributivité du produit matriciel sur l'addition et compatibilité avec la multiplication par un réel,

$$C(\alpha M+\beta N)+(\alpha M+\beta N)C=\alpha (CM+MC)+\beta (CN+NC)=\alpha 0_3+\beta 0_3=0_3,$$

donc $\alpha M+\beta N\in E_C$.

Ainsi $\boxed{E_C\text{ est un sous-espace vectoriel de }{\mathcal{M}}_3(\mathbb{R}).}$

Variante : $E_C$ est le noyau de l'application linéaire $M\mapsto CM+MC$ de ${\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})$ dans lui-même, et un noyau est un sous-espace vectoriel.

Ce que le correcteur attend : la combinaison linéaire porte sur les matrices $M$ et $N$, la matrice $C$ restant fixée ; et l'appartenance de $0_3$ se vérifie directement, sans invoquer Q1.